Arquivos Limite de Sequências - Educacional Plenus

Limite de Sequências – Exercício 8

Plenus — Mon, 12 Jun 2023 03:51:11 +0000

Prove que a sequência $$a_{n}=\frac{n}{3^{n+1}}$$ é convergente.

Solução:

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Limite de Sequências – Exercício 7

Plenus — Tue, 30 May 2023 17:02:02 +0000

Calcule o limite da sequência $$\frac{n²+2}{2n³+n-1}$$.

Solução:
Podemos reescrever a fração deste modo: $$\frac{n²+2}{2n³+n-1}=\frac{n²}{n³}\cdot\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n³}}{2+\frac{1}{n²}-\frac{1}{n³}}$$.

Sabemos que $$lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0, lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}+\frac{2}{n³} = 0$$ e $$lim_{n\to\infty}2+\frac{1}{n²}-\frac{1}{n³} = 2$$, então podemos aplicar a regra operacional do produto e concluir que

\[lim_{n\to\infty}\frac{n²+2}{2n³+n-1} = 0\cdot \frac{0}{2} = 0.\]

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Limite de Sequências e Séries – Exercícios resolvidos

Plenus — Tue, 30 May 2023 16:48:32 +0000

Calcule e justifique, se houver, o limite $$lim_{n\to\infty} a_{n}$$, em que

$$a_{n}=\frac{n+1}{2n-1}$$. Solução
$$a_{n}=\frac{n²+1}{n}$$. Solução
$$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$$. Solução

Mostre a convergência das sequências a seguir.

$$a_{n}=\frac{n}{3^{n+1}}$$. Solução

Mostre a convergência da séries a seguir. Em caso positivo, calcule seu limite.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$$. Solução
$$\sum_{n=1}^{\infty}ln[\frac{n}{n+1}]$$. Solução

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Limite de Sequências – Exercício 6

Plenus — Mon, 29 May 2023 21:46:02 +0000

Qual é o limite da sequência $$\frac{n²+1}{n}$$ ?

Solução:
A sequência é divergente. Podemos provar ao usarmos uma das regras operacionais de limites. Para isso, vamos fatorar a fração do seguinte modo: $$\frac{n²+1}{n} = \frac{n²}{n}\cdot\frac{1 + \frac{1}{n²}}{1} = n\cdot (1+\frac{1}{n²})$$.

Como $$lim_{n\to\infty} n = \infty$$ e $$lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n²}) = 1$$, concluímos que $$lim_{n\to\infty}n\cdot (1+\frac{1}{n²}) = \infty$$.

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Limite de Sequências – Exercício 5

Plenus — Mon, 29 May 2023 18:45:56 +0000

Caso exista, calcule o limite da sequência $$\frac{(-1)^{n}}{n}+2$$.

Solução:
Observe que a sequência é $$2-1 ; 2+\frac{1}{2} ; 2 – \frac{1}{3},…$$.
Apesar de sua alternância, a sequência é convergente, pois as subsequências de números pares e ímpares tendem a 0.:

$$2+\frac{1}{2n}\longrightarrow 2$$ e $$2 – \frac{1}{2n-1}\longrightarrow 2$$.

Provaremos que o limite é igual a 2 pela definição:

dado ε>0, podemos escolher $$n_{0}>\frac{1}{\epsilon}$$, de modo que, se $$n>n_{0}$$, teremos

$$|a_{n}-2| = |\frac{(-1)^{n}}{n}+2-2| = $$

$$|\frac{(-1)^{n}}{n}|=\frac{1}{n}<\frac{1}{n_{0}}<\epsilon$$.

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Limite de Sequências – Exercício 4

Plenus — Mon, 29 May 2023 16:48:46 +0000

Se existir o limite de (2n²+1)/(3n²-n):
$$lim_{n\to\infty}\frac{2n²+1}{3n²-n}$$.

Solução:

Vamos dividir o numerador e o denominador por $$n²$$, e a fração será mantida, com uma nova forma: $$\frac{2+\frac{1}{n²}}{3-\frac{n}{n²}}$$.

O limite do numerador existe: $$lim_{n\to\infty} 2+\frac{1}{n²} = 2 + lim_{n\to\infty} \frac{1}{n²} = 2+0 = 2$$.

O limite do denominador existe: $$lim_{n\to\infty} 3-\frac{n}{n²} = 3- lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 3-0 = 3$$.

Podemos, portanto, aplicar a regra da divisão de limites e dizer que

\[lim_{n\to\infty}\frac{2n²+1}{3n²-n} = \frac{lim_{n\to\infty} 2+\frac{1}{n²}} {lim_{n\to\infty} 3-\frac{n}{n²}}=2/3.\]

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Limite de Sequências – Exercício 3

Plenus — Mon, 29 May 2023 16:41:09 +0000

Calcule, se existir, o limite da sequência (n+1)/(2n-1):
$$lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1}$$.

Solução:

Se dividirmos numerador e denominador por $$n$$, a fração é mantida e é reescrita como $$\frac{1+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}}$$.

O limite do numerador existe: $$lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{n} = 1 + lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 1+0 = 1$$.

O limite do denominador existe: $$lim_{n\to\infty} 2-\frac{1}{n} = 2 – lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 2-0 = 2$$.

Podemos, portanto, aplicar a regra da divisão de limites e dizer que

\[lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1} = \frac{lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{n}}{lim_{n\to\infty} 2-\frac{1}{n} }=1/2.\]

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Limite de Séries – Exercício 2

Plenus — Sat, 10 Apr 2021 23:30:40 +0000

Mostre se a série $$\sum^{\infty}_{n=1}ln(\frac{n}{n+1})$$ é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu limite.

Solução:

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Limite de Séries – Exercício 1

Plenus — Tue, 06 Apr 2021 07:49:12 +0000

Calcule, se existir, o limite $$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2n-1}\cdot\frac{1}{2n+1}$$.

Solução:

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Limite de Sequências – Exercício 1

Plenus — Thu, 09 May 2019 00:12:02 +0000

Sejam $$lim_{n\to \infty}x_{n}=a$$ e $$lim_{n\to\infty} y_{n}=b$$. Se $$an_{0}$$, $$x_{n}

Solução:

Dado $$\epsilon>0$$, tomamos $$\epsilon/2>0$$, então existe $$n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}$$, tal que, para $$n>n_{0}$$, tem-se $$|x_{n}-a|<\epsilon/2$$ e $$|y_{n}-b|<\epsilon/2$$. Por hipótese, existe $$L>0$$ tal que $$b=L+a$$.

Assim, temos $$|x_{n}-a|=|a-x_{n}|=|b-L-x_{x}+y_{n}|<\epsilon/2$$.

Por outro lado:

\[|y_{n}-x_{n}-L|=|b-L-x_{n}+y_{n}-b|\leq|b-L-x_{n}|+|y_{n}-b|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon\].

Isto é, $$|y_{n}-x_{n}-L|<\epsilon$$.

Em outras palavras, uma das desigualdades obtidas é $$L-\epsilon < y_{n}-x_{n}$$. Tomando $$\epsilon = L$$, ter-se-á $$0n_{0}$$.

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