Propriedade: Seja $$C=(vw^{T})$$, com $$v_{n\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$. É verdade que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$.

Demonstração: Provaremos para $$k=2$$, inicialmente.

$$C^{2}=(vw^{T})(vw^{T})$$. Este é um produto matricial. Mas há uma propriedade que permite comutar o centro deste produto exterior:

\[(vw^{T})(vw^{T}) = v(w^{T}v)w^{T}=(w^{T}v)(vw^{T})\].

O primeiro termo da expressão é o produto interno entre os dois vetores; é permitido comutar o produto exterior, dado que este valor é real (ou, analogamente, complexo).

Por hipótese de indução assumimos que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$.

\[C^{k+1}=C^{k}\times (vw^{T})=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})(vw^{T})=(w^{T}v)^{k-1}v(w^{T}v)w^{T}=(w^{T}v)^{k}(vw^{T})\].

Demonstramos que a propriedade é válida para $$C^{k+1}$$, dado que a propriedade é válida para $$C^{k}$$.

Algoritmo Computacional (produto matricial)

//produto interno
s=0;
for i=1:n
    s=s+v(i)*w(i)
end

p=s^{k-1};

for i=1:n
    for j=1:n
        
         //D = C^k
        //cada elemento é vi*wj*produto escalar à potência (k-1)
        D(i,j)=p*v(i)*w(j)
        
        end
end

Na página anterior, vimos que $$Cb=<w,b>\cdot v$$, para o caso $$C=vw^{T}$$, $$v_{m\times n}$$ e $$w,b_{n\times 1}$$.

Com a propriedade demonstrada nesta página, temos:

\[C^{k}b=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})b=(w^{T}v)^{k-1}\cdot<w,b>\cdot v\].

O produto da potência da matriz com o vetor $$b_{n\times 1}$$ pode ser reduzido à multiplicação de dois produtos escalares a um vetor.

Algoritmo computacional

//produtos internos
r=s=0;

for i=1:n
    s=s+v(i)*w(i)
    r=r+w(i)*b(i)
end

p=s^{k-1};

for i=1:n
z = r*p*v(i);
end

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Dados os vetores $$v_{m\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$, define-se a matriz a seguir, a partir do produto exterior:

\[C=vw^{T}\].

Propriedades de $$C$$

1. As colunas de $$C$$ são combinações lineares de $$v$$, com os escalares iguais às entradas de $$w$$.
2. As linhas de $$C$$ são combinações lineares de $$w$$ com os escalares iguais às entradas de $$v$$.
3. O posto de $$C$$ é igual a 1.

De fato, $$C_{ij}=v_{i}w_{j}$$. A linha (i) da matriz é dada pela expressão $$C^{i}=(v_{i}w_{1},…,v_{i}w_{n}) = v_{i}(w_{1},…,w_{n})=v_{i}\cdot w^{T}$$.

Observamos também que a coluna (j) tem a expressão $$C_{j}= (v_{1}w_{j},…,v_{m}w_{j})=w_{j}\cdot (v_{1},…,v_{m})=w_{j}v$$.

O conjunto gerado pelas combinações lineares das colunas de $$C$$ é idêntico ao conjunto gerado pelos múltiplos escalares do vetor $$v$$. Com efeito, seja $$u=a_{1}C_{1}+..a_{n}C_{n}=a_{1}w_{1}v+…a_{n}w_{n}v=(a_{1}w_{1}+…+a_{n}w_{n})v$$. Deste modo, $$span\{C_{1},..,C_{n}\}= span \{v\}$$

Por hipótese, a dimensão de $$span\{v\}$$ é igual a 1, portanto $$span\{C_{1},..,C_{n}\}$$ tem dimensão igual a 1.

Produto matriz por vetor

Dado um vetor $$b_{m\times 1}$$, o produto entre a matriz $$C$$ e o vetor $$b$$ pode ser realizado por colunas, de modo que o novo vetor será a combinação linear das colunas de $$C$$, com os escalares de $$b$$.

\[Cb=[C_{1}|…|C_{n}]\cdot (b_{1},..,b_{n})= b_{1}C_{1}+…+b_{n}C_{n}=b_{1}w_{1}v+…b_{n}w_{n}v= <w,b>\cdot v\].

Algoritmo computacional

//operação produto interno <w,b>=soma
soma = 0;
for k=1:n
    soma = soma + b(k)*w(k);
    
end

// operação z = <w,b>v
for k=1:m
    z(j)=soma*v(j);
end

Produto $$z=(I-C)\cdot b$$, com $$I_{n\times n}$$ e $$C_{n\times n}$$.

Aplicamos a esta expressão o fato de que $$Cb=<b,w>v$$. Deste modo, temos:

\[(I-C)\cdot b=Ib-Cb=b-<b;w>v\].

O algoritmo será implementado, adicionando cada coordenada de $$b$$ à expressão obtida no algoritmo anterior.

Algoritmo computacional

//operação produto interno <w,b>=soma
soma = 0;
for k=1:n
    soma = soma + b(k)*w(k);
    
end

// operação z = <w,b>v
for k=1:m
    z(j)=b(j)-soma*v(j);
end

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\[c_{ij}=\sum^{p}_{k=1}a_{ik}b_{kj}\].

Equivalência 1: A i-ésima linha da matriz $$C$$ corresponde à combinação linear das linhas de $$B$$, com os coeficientes da i-ésima linha de $$A$$.

De fato, os elementos da i-ésima linha de $$C$$ são da forma:

\[[c_{i1},…,c_{ip}]=[(a_{i1}b_{11}+…+a_{ip}b_{p1}), (a_{i1}b_{12}+…+a_{ip}b_{p2}),…,(a_{i1}b_{1n}+…+a_{ip}b_{pn})]  = \]

\[[a_{i1}b_{11},…,a_{i1}b_{1n}]+[a_{i2}b_{21},…,a_{i2}b_{22}]+…+[a_{ip}b_{p1},…,a_{ip}b_{pn}]=\]

\[a_{i1}\cdot [b_{11},…,b_{1n}]+a_{i2}\cdot[b_{21},…,b_{22}]+…+a_{ip}\cdot[b_{p1},…,b_{pn}]=\]

\[a_{i1}\cdot B^{(1)}+a_{i2}\cdot B^{(2)}+…+a_{in}\cdot B^{(n)}\].

Onde $$B^{(i)}$$ é a i-ésima linha da matriz $$B$$.

Equivalência 2: A j-ésima coluna da matriz $$C$$ corresponde à combinação linear das colunas de $$A$$, com os coeficientes da j-ésima coluna de $$B$$.

Com efeito, os elementos da coluna (j) da matriz $$C$$ são da forma apresentada a seguir:

\[C_{j}=[c_{1j},…,c_{mj}]=[(a_{11}b_{1j}+…+a_{1p}b_{pj}),…,(a_{m1}b_{1j}+…+a_{mp}b_{pj})]=\]

\[ b_{1j}[a_{11},…,a_{m1}]+…+b_{pj}[a_{1p},…,a_{mp}]=b_{1j}A_{1}+…+b_{pj}A_{p}\].

Onde $$A_{s}$$ é a coluna de $$A$$ com índice $$s$$.

Note que o produto matricial pode ser reescrito desta maneira:

\[AB=[\sum^{p}_{s=1}b_{s1}A_{s};…;\sum^{p}_{s=1}b_{sn}A_{s}]\]

Algoritmo (ikj): este algoritmo aproveita a Equivalência 1, demonstrada. Fixando o índice da linha (i),a respectiva linha de C receberá, no primeiro  (k), a multiplicação da linha (k) de B pelo escalar $$a_{ik}$$. Nos próximos passos de (k), este valor é somado às próximas multiplicações de linhas de B pelos respectivos escalares.

Para teste computacionais, faremos $$m=p=n$$, uma vez que a complexidade polinomial cúbica pode ser calculada para $$max\{m,n,p\}$$.

for i = 1:n
for k = 1:n
const=A(i,k); //armazena o k-esimo termo da i-ésima linha de A

for j = 1:n
C(i,j) = C(i,j) + const*B(k,j);  
end
end
end

Algoritmo (jki): este algoritmo aproveita a Equivalência 2. Fixada a coluna (j), a matriz $$C$$ é preenchida com as combinações lineares das colunas da matriz $$A$$. Primeiro,fixa a linha (i), e percorre todos os elementos da coluna de $$A$$.

for j =1:n
for k = 1:p

const = B(k,j);
for i = 1:m
C(i,j) = C(i,j) + A(i,k)*const;
end
end
end

Desempenho computacional

Algoritmos implementados: comportamento polinomial cúbico.

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