Prove que a matriz de Householder, $$H=I-\frac{2}{|u|^{2}}\cdot u\otimes u^{T}$$, é uma matriz ortogonal.

Observação: O produto exterior é igual à matriz produto de coordenadas do vetor $$u$$, isto é, $$u\otimes u^{T}=[u_{i}u_{j}]$$, onde $$u=(u_{1},…,u_{n})\neq 0$$.

Demonstração:

Definição da matriz de Householder:

$$H=\left\{\begin{array}{rc}
1-\alpha\cdot u_{i}^{2},&\mbox{se}\quad i=j,\\
-\alpha\cdot u_{i}u_{j}, &\mbox{se}\quad i\neq j.
\end{array}\right.
$$,

onde $$\alpha = 2/|u|^{2}$$.

1) O produto $$<q_{k},q_{k}>=1$$, onde $$q_{k}=[\alpha\cdot u_{1}u_{k},…,1-\alpha u_{k}^{2},…,\alpha\cdot u_{n}u_{k}]$$ é a k-ésima coluna da matriz $$H$$.

De fato, \[<q_{k},q_{k}> = (1-\alpha\cdot u_{k}^{2})^{2}+\sum_{i\neq k}(\alpha\cdot u_{i}u_{k})^{2}=\]

\[(1-\alpha\cdot u_{k}^{2})^{2}+\frac{4}{|u|^{4}}u^{2}_{k}\cdot\sum_{i\neq k} u_{i}^{2}=\]

\[(1-\alpha\cdot u_{k}^{2})^{2}+\frac{4}{|u|^{4}}u^{2}_{k}\cdot\sum^{n}_{i=1} u_{i}^{2} – \frac{4}{|u|^{4}}u_{k}^{4}=\]

\[(1-\alpha\cdot u_{k}^{2})^{2}+\frac{4}{|u|^{4}}u^{2}_{k}\cdot |u|^{2} – \frac{4}{|u|^{4}}u_{k}^{4}=\]

\[(1-\alpha\cdot u_{k}^{2})^{2}+\frac{4}{|u|^{2}}u^{2}_{k} – \frac{4}{|u|^{4}}u_{k}^{4}=\]

\[1+\frac{4}{|u|^{4}}u^{4}_{k}-\frac{4}{|u|^{2}}u^{2}_{k}+\frac{4}{|u|^{2}}u^{2}_{k} – \frac{4}{|u|^{4}}u_{k}^{4}= 1\].

2) O produto $$<q_{k},q_{s}>=0$$, para $$s\neq k$$. Para a demonstração, faremos $$s=k+1$$, sem perda de generalidade.

\[<q_{k},q_{k+1}>=\alpha^{2}u_{k}u_{k+1}\cdot\sum_{i\neq k,k+1}u^{2}_{i}-\alpha\cdot u_{k}u_{k+1}[(1-\alpha\cdot u^{2}_{k})+(1-\alpha\cdot u^{2}_{k+1})]=\]

\[\alpha^{2}\cdot u_{k}u_{k+1}\cdot\sum^{n}_{i=1}u^{2}_{i}-\alpha^{2}u_{k}u_{k+1}[u^{2}_{k}+u^{2}_{k+1}] -\alpha\cdot u_{k}u_{k+1}[(1-\alpha\cdot u^{2}_{k})+(1-\alpha\cdot u^{2}_{k+1})]=\]

\[2\alpha\cdot u_{k}u_{k+1}-\alpha^{2}u_{k}u_{k+1}[u^{2}_{k}+u^{2}_{k+1}] +\alpha^{2}u_{k}u_{k+1}[u^{2}_{k}+u^{2}_{k+1}]-2\alpha\cdot u_{k}u_{k+1}=0 \]

3) A matriz de Householder é simétrica.

Com efeito, é notório que, para $$i\neq j$$, $$h_{i j}=-\alpha u_{i}u_{j}=-\alpha u_{j}u_{i}=h (j i)$$. Isto é, a matriz é simétrica ($$H=H^{T}$$).

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