Exercício

Seja $$f^{*}:\mathbb{R}\longrightarrow E$$ a adjunta do funcional linear $$f: E\longrightarrow \mathbb{R}$$. Prove que $$v=f^{*}(1)$$ é vetor de $$E$$ que corresponde a $$f$$ pelo isomorfismo do teorema da representação de Riesz.

Prove ainda que $$f(f^{*}(1))=|v|^{2}$$ e $$f^{*}(f(w))=<w;v>v$$, para todo $$w\in E$$.

Solução:

Da propriedade adjunta, $$f(w)\cdot 1 = <w;f^{*}(1)>=<w;v>$$.

Pelo teorema da representação, sabemos do isomorfismo $$\xi :E\longrightarrow E^{*}$$ tal que $$\xi (v)=<w;v>$$, para todo $$w\in E$$. Agora, façamos a composição de funções:

\[(\xi\circ f^{*})(v)=\xi(f^{*}(1))=\xi(v)=<w;v>=f(w)\].

Por outro lado, $$f(f^{*}(1))=f(v)=<v;v>=|v|^{2}$$, e $$f^{*}(f(w))=f^{*}(f(w)\cdot 1)=f(w)\cdot v = <w;v>v$$.

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