Solução:

Em primeiro lugar, pensemos apenas em questões certas e erradas. Temos um conjunto com 7 C (certas) e 3 E (erradas). O total de permutações que podemos obter entre essas letras é $$\frac{10!}{7!3!}=120$$.

As questões erradas podem ocorrer em 4 possibilidades, pois apenas uma das 5 alternativas é correta, logo a forma de errar três questões é $$4\cdot 4\cdot 4 = 4^{3}$$.

Pelo princípio multiplicativo, o total de maneiras de acertar exatamente 7 questões é de $$120\cdot 4^{3} = 30\cdot 4^{4}$$.

Resposta: a)

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Solução:

O total de configurações para os rapazes é de 5!; o total de configurações para as moças também é de 5!. Cada dupla que ocupar um degrau poderá ser permutada, de modo que o total de permutações será de $$2^{5}$$, uma para cada degrau.

Agora observe que as configurações são independentes, então, pelo princípio multiplicativo, teremos o total de $$5!\cdot 5!\cdot 2^{5} = 460.800$$.

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(A) Canadá
(B) Guiana
(C) Jamaica
(D) México
(E) Panamá

Solução:
No caso da ‘Jamaica’, temos 7 letras, sendo 3 iguais, então o total de anagramas é $$\frac{7!}{3!} = 840, mas não corresponde a um país da América Latina.

No caso do ‘México’, temos 6 letras sem repetições, então o total de anagramas é $$6! = 720$$. Todos os outros países têm seus nomes formados por 6 letras com pelo menos uma repetição, então o número será inferior ao de anagramas do ‘México’.

Resposta: d)

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265431.
265413.
265314.
264531.

Solução:
A quantidade de números iniciados por 1 é dada por $$_\cdot 5! = 120$$.

A quantidade de números iniciados com o algarismo 2 é dada por $$_\cdot 5! = 120$$, então esses números ocupam as posições de número 121 até 240.

Observe que o último número iniciado por 2 é $$265431$$, que é o maior número iniciado pelo algarismo 2. Isso significa que ele ocupa a 240ª posição. Então o número imediatamente anterior a ele é 265413, que está na 239ª posição.

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a) 24
b) 48
c) 96
d) 240
e) 720

Solução:
Isolamos as vogais das consoantes, formando dois blocos, então teremos anagramas como AIBRSL. Dentro do bloco das vogais, há 2! permutações; no bloco das consoantes, há 4! permutações. Além disso, os dois blocos possuem 2! permutações entre si, logo o total é dado por $$2!4!2! = 96$$.

O post Permutação – Exercício 15 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• Veja a correção de mais questões da UNIVESP 2023

(A) 25.
(B) 20.
(C) 15.
(D) 10.
(E) 5

Gabarito: b)
Solução (no vídeo a seguir):

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Solução:
Procuramos pelo número de sequências de bolas retiradas. Como as bolas são idênticas, excetuando-se as cores, teremos um total de 9! e a exclusão de 3! e de 6!, isto é: $$\frac{9!}{3!6!}=84$$.

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Solução:

O total de anagramas dessa palavra é $$\frac{7!}{3!} = 840$$. Note que precisamos excluir as repetições da tripla AAA, portanto usamos a divisão por 3!.

O total de anagramas que apresentam as vogais juntas pode ser calculado se considerarmos as 4 letras um único dígito. Deste modo, teremos 4! permutações. Internamente, as letras são permutadas em 4!/3! = 4, uma vez que devemos, novamente, excluir as repetições de AAA. Assim, o total de anagramas que têm todas as vogais juntas é $$4!\cdot 4$$.

Por exclusão, o total de anagramas que não têm as 4 vogais juntas é o total de permutações subtraído pelo número anterior, isto é: $$840 – 4\cdot 4! = 744$$.

O post Permutação – Exercício 13 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) PROVA.
b) VAPOR.
c) RAPOV.
d) ROVAP.
e) RAOPV.

Solução:
Usamos as letras do conjunto {A,O,P,R,V}.

• Iniciando as palavras por “A”, teremos A _ _ _ _ = $$1\cdot 4! = 24$$ letras.
• Iniciando as palavras por “O”, teremos O _ _ _ _ = $$1\cdot 4! = 24$$ letras.
• Iniciando as palavras por “P”, teremos P _ _ _ _ = $$1\cdot 4! = 24$$ letras.

Formamos um total de 72 letras. A próxima palavra inicia-se com a letra R e mantém a ordem alfabética nas suas letras restantes, logo a palavra da 73ª posição é RAOPV.

O post Permutação – Exercício 12 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo
1.

b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número
512346 e que número ocupa a 242ª posição.

Solução:

a) O total é formado pela permutação dos 6 números, que é igual a 6!.
Fixando o primeiro algarismo como 1, restam outros 5 dígitos que podem ser permutados nas 5 escolhas possíveis. Isso fornece um total de $$1\cdot 5! = 120$$ números.

b) Já calculamos, no item anterior, a quantidade de números iniciados por 1. A quantidade de números iniciados por 2 será exatamente a mesma, e assim por diante. Isso significa que, em ordem crescente, os números iniciados pelo algarismo 5 aparecem depois da posição $$120\cdot 4 = 480$$, e o primeiro número iniciado por 5 é exatamente o número 512346, então ele ocupa a posição 481.

Os primeiros 120 números começam com 1; os próximos 120 números começam com 2. Daqui, temos 240 números. Os próximos iniciam-se com o algarismo 3. Em ordem, teremos 312456 e 312465. Este último é o número da 242ª posição.

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