Seja $$w\in V=\mathbb{R}^{n}$$ tal que $$||w||_{2}=1$$. P = $$ww^{t}$$, e $$Q=I-2P$$. Demonstre os itens a seguir.

a) $$P$$ é projetor ortogonal.

b) $$Qw=-w$$.

c) $$Qv=v$$, se $$<w;v>=0$$.

d) $$Q$$ é uma matriz simétrica e ortogonal.

Solução:

a) Seja $$v\in V$$, então $$v=(v-Pv)+Pv$$. Aplicando $$P(v-Pv) = ww^{t}v – ww^{t}(ww^{t}v) = ww^{t}-ww^{t}v = 0$$. Deste modo, prova-se que $$v$$ é uma soma de um elemento $$Pv\in\mathcal{Im}(P)$$ e de um elemento $$(v-Pv)\in\mathcal{N}(P)$$.

Além disso, dado $$y=Px$$, então $$Py=P(Px) = ww^{t}ww^{t}x = ww^{t}x = Px = y$$, ou seja, $$Py=y$$, se $$y\in\mathcal{Im}(P)$$. Assim, $$Py=0\Longleftrightarrow y =0$$. Daqui, conclui-se que $$\mathcal{Im}(P)\cap\mathcal{N}(P) = \{0_{V}\}$$, logo o espaço $$V$$ é soma direta entre o núcleo e a imagem de $$P$$.

Nota-se, também, que $$\mathcal{Im}(P)=span\{w\}$$, pois $$P(v)=ww^{t}v = \alpha\cdot w$$, em que $$\alpha = w^{t}v = <v;w>\in\mathbb{R}$$. Daqui, conclui-se que $$P$$ projeta sobre o espaço $$span\{w\}$$.

Ademais, $$v\in \mathcal{N}(P) \Longleftrightarrow ww^{t}v = 0 \Longleftrightarrow w^{t}v=0$$. Isso mostra que $$\mathcal{N}(P)^{\perp}= span\{w\}=\mathcal{Im}(P)$$.

Portanto, $$P$$ é projeção ortogonal.

b) $$Q(w)=w-2ww^{t}w = w -2w = -w$$.

c) Dado que $$<w,v>=0$$, $$Q(v)=v-2ww^{t}v=v-0=v$$.

d) A matriz é simétrica. De fato, $$Q^{t}=I-2(ww^{t})^{t}=I – 2ww^{t} = Q$$.

A matriz é idempotente. De dato, $$Q^{2} = (I-2ww^{t})(I-2ww^{t}) = I – 4ww^{t}+4ww^{t}=I$$.

Juntam-se as observações, a fim de concluir o que foi enunciado: $$QQ^{t}=QQ=Q^{2}=I=Q^{2}=Q^{t}Q$$.

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Suponha que o espaço vetorial de dimensão finita $$E$$ admita a decomposição $$E=\bigoplus_{j=1}^{k} F_{j}$$, como soma direta de subespaços vetoriais. Para cada $$i\in\{1,2…,k\}$$, escreva $$G_{i}=\bigoplus_{j=1,j\neq i}^{k}F_{j}$$ e chame $$P_{i}:E\longrightarrow E$$ de projeção sobre $$F_{i}$$, paralelamente a $$G_{i}$$. Prove que $$P_{1}+…+P_{k}=I$$ e $$P_{s}P_{j}=0$$, para $$s\neq j$$.

Solução:

Por hipótese, para todo $$x\in E$$, há a decomposição única $$x=v_{1}+…+v_{k}$$, em que $$v_{j}\in F_{j}$$. Além disso, $$P_{j}(x)=v_{j}$$, dado que a decomposição existe e é única.

Daqui, podemos calcular a soma das projeções.

$$(P_{1}+…+P_{k})(x)=P_{1}(x)+…+P_{k}(x)= v_{1}+…+v_{k}=x$$. Isso prova que $$P_{1}+…+P_{k}=I$$.

Ademais, $$P_{s}P_{j}=P_{s}(P_{j}(x))=P_{s}(v_{j})=0$$, pois $$v_{j}$$ tem a seguinte decomposição: $$v_{j}=0+…+v_{j}+…+0$$.

Referência

Lima, Elon Lages- Álgebra Linear – 9ª Edição – Rio de Janeiro – IMPA

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