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Quadrado da Soma e Quadrado da Diferença

Plenus — Wed, 01 Jan 2025 14:22:47 +0000

Os Quadrados da Soma e da Diferença são dois tipos de produtos notáveis importantes da matemática. Veja como utilizá-los em cálculos práticos.

$$(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$$.
O quadrado da soma pode ser traduzido como o primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro pelo segundo, tudo isso adicionado ao segundo termo elevado ao quadrado.

$$(a-b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$$.
O quadrado da diferença é igual ao primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro pelo segundo, tudo isso somado ao segundo termo elevado ao quadrado.

Exemplo:
Calcule (2x+y)².
O primeiro termo é $$2x$$, então seu quadrado é $$(2x)^{2}=4x^{2}$$.
O segundo termo é $$y$$, então seu quadrado é $$y^{2}$$.
O dobro do primeiro pelo segundo é $$2\cdot 2x\cdot y = 4xy$$.

Resultado: $$(2x+y)^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}$$.

Exemplo:
Calcule (x-5y)².
O primeiro termo é $$x$$, então seu quadrado é $$x^{2}$$.
O segundo termo é $$5y$$, então seu quadrado é $$(5y)^{2}=5^{2}y^{2}=25y^{2}$$.
O dobro do primeiro pelo segundo é $$2\cdot x\cdot 5y = 10xy$$.

Resultado: $$(x-5y)^{2}=x^{2}-10xy+25y^{2}$$.

Também é possível obter a soma ou a diferença a partir de uma expressão mais longa, chamada Trinômio quadrado perfeito. Observe os exemplos.

Exemplo
Qual é expressão reduzida de $$x^{2}-2x+1$$ ?
O primeiro termo é o quadrado de $$x$$.
O segundo termo é o quadrado de 1, pois $$1^{2}=1$$.
O termo central tem sinal negativo e é o dobro do produto dos dois primeiros: $$-2\cdot x\cdot =-2x$$.

Isso permite concluir que $$x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}$$.

Exemplo
Qual é expressão reduzida de $$9x^{2}+12x+4$$ ?
Faça $$\sqrt{9x^{2}}=3x$$, para descobrir que o primeiro termo é $$(3x)^{2}$$.
O segundo termo é o quadrado de 2, pois $$2^{2}=4$$.
O termo central é positivo e corresponde ao dobro do produto dos dois primeiros: $$2\cdot 3x\cdot 2 =12x$$.

Isso permite concluir que $$9x^{2}+12x+4 = (3x+2)^{2}$$.

Confira mais exercícios resolvidos sobre Quadrado da Soma e Quadrado da Diferença.

Calcule (y + 2)². Solução.
Calcule (2a³ + 5b²)². Solução.
Reduza y² + 2y + 1. Solução.
Reduza a² + 20a + 100. Solução.

Mais exercícios resolvidos sobre Quadrado da Soma e Quadrado da Diferença.

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Produtos Notáveis – Exercício 27

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 15:20:57 +0000

Transforme a expressão a² + 10a + 10 no quadrado de um binômio mais uma constante.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Além disso, precisamos descobrir qual constante deve ser somada ao quadrado.

a² + 10a + 10 = a*a + 2*a*5 + 5*5 – 15 = (a + 5)² – 15

Confira nossa lista de Exercícios de Quadrado da Soma

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Produtos Notáveis – Exercício 26

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 15:20:27 +0000

Transforme a expressão x² + 8x no quadrado de um binômio mais uma constante.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Além disso, precisamos descobrir qual constante deve ser somada ao quadrado.

x² + 8x = x*x + 2*x*4 + 4*4 – 16 = (x + 4)² – 16

Confira nossa lista de Exercícios de Quadrado da Soma

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Produtos Notáveis – Exercício 25

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 15:19:50 +0000

Transforme a expressão y¹⁰ + 10y⁵ no quadrado de um binômio mais uma constante.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Além disso, precisamos descobrir qual constante deve ser somada ao quadrado.

y¹⁰ + 10y⁵ =y⁵*y⁵ + 2*y⁵*5 + 5*5 – 25 = (y⁵ + 5) – 25

Confira nossa lista de Exercícios de Quadrado da Soma

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Produtos Notáveis – Exercício 24

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 15:18:49 +0000

Transforme a expressão a² + 12a + 100 no quadrado de um binômio mais uma constante.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Além disso, precisamos descobrir qual constante deve ser somada ao quadrado.

a² + 12a + 100 = a*a + 2*a*6 + 6*6 + 64 = (a + 6)² + 64

Confira nossa lista de Exercícios de Quadrado da Soma

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Produtos Notáveis – Exercício 23

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 15:18:04 +0000

Transforme a expressão y² + 10y + 16 no quadrado de um binômio mais uma constante.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Além disso, precisamos descobrir qual constante deve ser somada ao quadrado.

y² + 10y + 16 = y*y + 2*y*5 + 5*5 – 9 = (y + 5)² – 9

Confira nossa lista de Exercícios de Quadrado da Soma

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Produtos Notáveis – Exercício 22

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 14:57:38 +0000

Transforme a expressão a⁴ + 2a³ + a² no quadrado de um binômio.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dessa forma,

a⁴ + 2a³ + a² = a²*a² + 2a²*a + a*a = (a² + a)²

Confira nossa lista de Exercícios de Quadrado da Soma

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Produtos Notáveis – Exercício 21

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 14:53:50 +0000

Transforme a expressão 100x² + 60x + 9 no quadrado de um binômio.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dessa forma,

100x² + 60x + 9 = 10x*10x + 2*10x*3 + 3*3 = (10x + 3)²

Confira nossa lista de Exercícios de Quadrado da Soma

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Produtos Notáveis – Exercício 20

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 14:53:20 +0000

Transforme a expressão 9y² + 24yz + 16z² no quadrado de um binômio.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dessa forma,

9y² + 24yz + 16z² = 3y*3y + 2*3y*4z + 4z*4z = (3y + 4z)²

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Produtos Notáveis – Exercício 19

Guimarães — Thu, 17 Nov 2022 14:52:46 +0000

Transforme a expressão a² + 20a + 100 no quadrado de um binômio.

Solução:

Precisamos ter em mente a fórmula do quadrado da soma:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dessa forma,

a² + 20a + 100 = a*a + 2*a*10 + 10*10 = (a + 10)²

Confira nossa lista de Exercícios de Quadrado da Soma

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