(a) Prove that ch= hc = c for all h in G.

(b) Deduce that c² = |G|c.

(c) Let $$\varphi: \mathbb{C}G\to \mathbb{C}G$$ be the linear transformation sending $$v$$ to $$vc$$, for all $$v$$ in $$\mathbb{C}G$$. What is the matrix $$[\varphi]_{\beta}$$, where β is the basis {g₁, . . . , g_n} of $$\mathbb{C}G$$?

Solução:

a) Dados $$h,g_{i}\in G$$, é fato que $$hg_{i}=g_{j}$$, para algum $$g_{j}\in G$$, uma vez que o grupo é finito e tem todos os seus elementos listados. Assim, multiplicando

\[hc = \sum^{n}_{i}hg_{i}=\sum_{j=1}^{n}g_{j}=c.\]

O mesmo valerá para $$ch$$.

b)  Observe que $$c^{2}=\sum_{i,j}g_{i}g_{j}$$. Podemos reescrever, usando a associatividade do produto:

\[c^{2}=\sum_{j=1}(\sum_{i=1}g_{i})g_{j}=\]

\[\sum_{j=1}cg_{j}=\sum_{j=1}c=nc = |G|c.\]

c) Seja $$[v]_{\beta}=(a_{1},…,a_{n})^{T}$$. Observamos que

\[cv = \sum_{j}\sum_{i}g_{i}a_{j}g_{j}=sum_{j}a_{j}(\sum_{i}g_{i})g_{j}=\]

\[\sum_{j}a_{j}cg_{j}=\sum_{j}a_{j}c.\]

Esta última soma equivale a $$(a_{1}+…+a_{n})g_{1}+…+(a_{1}+…+a_{n})g_{n}$$, então temos a transformação linear que relaciona as coordenadas do seguinte modo:

\[[v]_{\beta}\mapsto [\varphi]_{\beta}[v]_{b}=(a_{1}+…+a_{n},…,a_{1}+…+a_{n})^{T}.\]

A matriz $$[\varphi]_{\beta}$$ tem todas as entradas iguais a 1.

Na notação de James e Liebeck, teremos $$v\mapsto vc$$, então a matriz é $$[\varphi]_{\beta}^{*}$$. Mas, dado que a matriz é hermitiana, o resultado é idêntico ao da notação padrão.

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Suppose that ρ is a representation of G of degree 1. Prove that G\Ker(ρ) is abelian.

Solução:

Dados $$g,h\in G$$, $$\rho(ghg^{-1}h^{-1})=\rho(g)\rho(h)\phi(g^{-1})\rho(h^{-1}) (*)$$.

Como ρ é representação de grau 1, $$\rho(x)\in\mathbb{F} $$(corpo), então

\[(*)=\rho(g)\rho(g^{-1})\rho(h)\rho(h^{-1})=\]

\[\rho(gg^{-1})\rho(h^{1}h)=1\cdot 1 = 1.\]

Conclui-se que $$ghg^{-1}h^{-1}\in ker(\rho)$$, portanto

\[ghg^{-1}h^{-1} Ker(\rho) = Ker(\rho) \Longrightarrow (gh)Ker(\rho)= (hg)Ker(\rho).\]

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Solution:

For $$g,h\in G$$, $$\rho(ghg^{-1}h^{-1})=\rho(g)\rho(h)\phi(g^{-1})\rho(h^{-1}) (*)$$.

Since ρ is of degree 1, $$\rho(x)\in\mathbb{F} $$(field), so

\[(*)=\rho(g)\rho(g^{-1})\rho(h)\rho(h^{-1})=\]

\[\rho(gg^{-1})\rho(h^{1}h)=1\cdot 1 = 1.\]

We conclude that $$ghg^{-1}h^{-1}\in ker(\rho)$$, therefore

\[ghg^{-1}h^{-1} Ker(\rho) = Ker(\rho) \Longrightarrow (gh)Ker(\rho)= (hg)Ker(\rho).\]

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