Solução:

$$H_{A} = 0$$

$$V_{B}\cdot L = M \longrightarrow V_{B} = \frac{M}{L}$$

$$V_{A} + V_{B} = 0 \longrightarrow V_{A} = -\frac{M}{L}$$

O post Mecânica dos Sólidos – Diagramas de Esforços Solicitantes – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

$$H_{A} = 0$$

$$\frac{PL}{2} = V_{B}\cdot L \longrightarrow V_{B} = \frac{P}{2}$$

$$V_{A} + V_{B} = P \longrightarrow V_{A} = \frac{P}{2}$$

O post Mecânica dos Sólidos – Diagramas de Esforços Solicitantes – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A equação diferencial para esse tipo de situação é: \[Cv\frac{\partial^{2} u_{e}}{\partial z^{2}} = \frac{\partial u_{e}}{\partial t}\] O que configura um problema de valor inicial.

Condição inicial:

Em t = 0, todo o excesso de pressão vai para a água, portanto $$u_{e} = 10\, kPa$$.

Condições de contorno:

Em z = 0, temos a camada de areia compacta, portanto o excesso de pressão neutra é zero, já que a água tem saída livre, portanto $$u_{e} = 0$$.

Em z = H, o velocidade da água é zero, pois há rocha impermeável, que impede o fluxo da água. Portanto $$v = -K\frac{\partial u_{e}}{\partial z} = 0 \longrightarrow \frac{\partial u_{e}}{\partial z} = 0$$.

Aplicando o método das diferenças finitas para ambos os lados, temos

$$\frac{\partial^{2} u_{e}}{\partial z^{2}}|_{z_{0}, t} = \frac{u_{e}\, (z_{0}-\Delta z, t) – 2u_{e}\, (z_{0}, t) + u_{e}\, (z_{0}+\Delta z, t)}{\Delta z^{2}}$$, para qualquer t.

$$\frac{\partial u_{e}}{\partial t}|_{z,t_{0}} = \frac{-u_{e}\, (z, t_{0} + u_{e}\, (z, t_{0} +\Delta t)}{\Delta t}$$, para qualquer z.

Chamando: $$z_{0} = z_{i}$$, $$z_{0} – \Delta z = z_{i-1}$$, $$z_{0} + \Delta z = z_{i+1}$$, $$t_{0} = t_{j}$$ e $$t_{0} + \Delta t = t_{j+1}$$, temos, para i = 1, …, n-1 e j = 1, …

$$Cv\frac{u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j} – 2u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) + u_{e}\, (z_{i+1}, t_{j})}{\Delta z^{2}} = \frac{-u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) + u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1})}{\Delta t}$$

$$u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1}) = Cv\Delta t\frac{u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j}) -2u_{e}\, (z_{i}, t_{j}) +u_{e}\, (z_{i+1}, t_{j})}{\Delta z^{2}} + u_{e}\, (z_{i}, t_{j})$$ (método explícito)

Para i = o, temos, para qualquer t, $$u_{e} = 0$$.

Para i = n, precisamos criar um ponto fictício n+1. Assim, temos

$$\frac{\partial u_{e}}{\partial z}|_{z_{n}} = \frac{u_{e}\, (z_{n-1}, t) – u_{e}\, (z_{n+1}, t)}{2\Delta z} = 0 \longrightarrow u_{e}\, (z_{n+1}, t) = u_{e}\, (z_{n-1}, t)$$

Portanto, para i = n temos a seguinte equação

$$u_{e}\, (z_{i}, t_{j+1}) = Cv\Delta t\frac{2u_{e}\, (z_{i-1}, t_{j}) – 2u_{e}\, (z_{i}, t_{j})}{\Delta z^{2}} + u_{e}\, (z_{i}, t_{j})$$

Para o método explícito existe uma restrição para que ele se mantenha estável:

$$r = \frac{Cv\Delta t}{\Delta z^{2}}\leq \frac{1}{2}$$

Adotando $$\Delta z = 1\, m$$, temos que $$\Delta t_{max}\leq 1,09\cdot 10^{5}\, min \cong 2,52\, meses$$.

Portanto, iremos adotar $$\Delta t = 1\, m\hat{e} s = 43200\, min$$.

Adotando n = 10, podemos resolver o problema no excel inserindo as equações acima e os dados do problema, como mostra a figura abaixo.

Para encontrar em quanto tempo o adensamento se completa, basta puxar as linhas em direção de t até que toda a coluna de z = 0 a 10 fique com $$u_{e} = 0$$.

Porcentagem média de adensamento: é a porcentagem do adensamento total que aconteceu em certo tempo. Para esse cálculo, precisamos da seguinte equação:

$$U = \frac{u_{e}\, (0) – u_{e}\, (t)}{u_{e}\, (0)} \longrightarrow U = \frac{\int ^{H} _{0} [u_{e}\, (0) – u_{e}\, (t)] dz}{\int ^{H} _{0} u_{e}\, (0)} \longrightarrow U = \frac{qH – \int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz}{qH} \longrightarrow U = 1 – \frac{\int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz}{qH}$$

Utilizando a regra do trapézio, temos

$$\int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz = \frac{u_{e_{0}} + u_{e_{1}}}{2}\Delta z + … +\frac{u_{e_{n-1}} + u_{e_{n}}}{2}\Delta z \longrightarrow \int ^{H} _{0} u_{e}\, (t) dz = \frac{\Delta z}{2}(u_{0} + 2u_{1} +…+2u_{n-1} + u_{n})$$

Portanto, temos a seguinte porcentagem média de adensamento para cada tempo:

$$U = 1 – \frac{\Delta z}{2qH}(u_{0}+2u_{1}+…+2u_{n-1}+u_{n})$$

Podemos também calcular o fator tempo:

$$T = \frac{Cv\cdot t}{H_{d}^{2}}$$

A figura abaixo mostra esses cálculos para o nosso exemplo. Neste caso, $$H_{d} = H$$, pois temos uma das faces impermeável. 

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Questão 4

O peso específico natural de um solo é 21,8 kN/m³ e seu peso específico seco é 18,6 kN/m³. Sabendo que o índice de vazios desse solo é igual a 0,48, obter:
(a) o teor de umidade
(b) o grau de saturação
(c) o peso específico saturado
(d) o peso específico dos sólidos

a) O teor da umidade pode ser obtido a partir da relação existente entre o peso específico natural e o seco. \[\gamma_{d} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow 18,6 = \frac{21,8}{1+w} \longrightarrow w = 17,20\,

b) O grau de saturação é \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] A partir dessa definição, vamos chegar em uma relação entre o grau de saturação e os dados que temos. \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{P_{w}}{\gamma_{w} V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{P_{w}}{\gamma_{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w P_{s}}{\gamma_{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma_{w} e}\] O peso específico da água, sabemos que é $$\gamma_{w} = 10\, kN/m^{3}$$. O peso específico dos sólidos podemos encontrar através do índice de vazios: \[e = \frac{\gamma_{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma_{s} (1+0,172}{21,8} \longrightarrow \gamma_{s} = 27,53\, kN/m^{3}\] Agora podemos calcular o grau de saturação: \[Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma_{w} e} \longrightarrow Sr = \frac{0,172\cdot 27,53}{10\cdot 0,48} \longrightarrow Sr = 98,65\,

c) Aqui, precisamos encontrar o peso específico saturado \[\gamma_{sat} = \frac{P_{s}+V_{v}\gamma_{w}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \frac{P_{s}}{V} + \frac{V_{v}\gamma_{w}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \frac{(V – V_{s})\gamma_{w}}{V} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} -\gamma_{w}\frac{V_{s}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{V} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{P_{s}}\gamma_{d} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w}  – \frac{\gamma_{w}}{e}\frac{V_{v}}{P_{w}}\gamma_{d} w \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{V_{v}}{e}\frac{\gamma_{d} w}{V_{w}} \longrightarrow \gamma_{sat} = \gamma_{d} + \gamma_{w} – \frac{\gamma_{d} w}{e Sr} \longrightarrow\] \[\gamma_{sat} = 18,6 + 10 – \frac{18,6\cdot 0,172}{0,48\cdot 0,987} \longrightarrow \gamma_{sat} = 21,85\, kN/m^{3}\]

d) O peso específico dos sólidos foi calculado no item b): \[e = \frac{\gamma_{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma_{s} (1+0,172}{21,8} \longrightarrow \gamma_{s} = 27,53\, kN/m^{3}\]

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Questão 3

36 g de uma amostra de areia, confinada num recipiente, tem 74,5% de grau de saturação e ocupa um volume de 19 cm³. Após a secagem do solo em estufa a sua massa passou para 31 g. Obter:
(a) o peso específico natural
(b) a peso específico aparente seco
(c) o peso específico saturado
(d) o índice de vazios
(e) o peso específico dos sólidos

a) Para calcular o peso específico natural, basta dividir a massa úmida pelo volume total: \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{36}{19} \longrightarrow \gamma = 1,89\, g/cm^{3} = 18,9\, kN/m^{3}\]

b) O peso específico aparente seco é calculado dividindo a massa seca pelo volume total. \[\gamma _{d} = \frac{M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma _{d} = \frac{31}{19} \longrightarrow \gamma _{d} = 1,63\, g/cm^{3} = 16,3\, kN/m^{3}\]

c) O peso específico saturado é calculado da seguinte forma: \[\gamma _{sat} = \frac{M_{s}+V_{v}\cdot\gamma_{w}}{V}\] Primeiro precisamos da massa de água: $$M_{w} = M – M_{s} = 36 – 31 = 5\, g$$ Sabendo que o peso específico da água é 1 g/cm³, temos o volume de água $$\gamma_{w} = \frac{M_{w}}{V_{w}} \longrightarrow 1 = \frac{5}{V_{w}} \longrightarrow V_{w} = 5\, cm^{3}$$.

Agora precisamos calcular o volume de vazios, que pode ser encontrado pelo grau de saturação: $$Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow 0,745 = \frac{5}{V_{v}} \longrightarrow V_{v} = 6,71\, cm^{3}$$.

Finalmente, podemos encontrar o peso específico saturado. \[\gamma _{sat} = \frac{31+6,17\cdot 1}{19} \longrightarrow \gamma_{sat} = 1,98\, g/cm^{3} = 19,8\, kN/m^{3}\]

d) Para calcular o índice de vazios, já temos o volume de vazios, só precisamos do volume de sólidos: $$V_{s} = V – V_{v} = 19 – 6,71 = 12,29\, cm^{3}$$. Agora é só calcular o índice de vazios. \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{6,71}{12,29} \longrightarrow e = 0,546\]

e) Para o cálculo do peso específico dos sólidos, basta dividir a massa seca pelo volume de sólidos. \[\gamma_{s} = \frac{M_{s}}{V_{s}} \longrightarrow \gamma_{s} = \frac{31}{12,29} \longrightarrow \gamma_{s} = 2,52\, g/cm^{3} = 25,2\, kN/m^{3}\]

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Questão 2

Um bloco indeformado de argila, com peso específico natural de 19,1 kN/m³ e teor de umidade de 29% apresenta um peso específico dos sólidos igual a 26,9 kN/m³. Para esse solo determinar:
(a) o peso específico aparente seco
(b) o índice de vazios
(c) a porosidade
(d) o grau de saturação

a) Com apenas três valores, podemos encontrar todos os outros índices físicos por correlação. Nesse item, vamos deduzir a correlação para o peso específico aparente seco, cuja definição é \[\gamma _{d} = \frac{M_{s}}{V}\] Partido do teor de umidade temos \[w = \frac{M_{w}}{M_{s}} \longrightarrow M_{s} = \frac{M_{w}}{w}\] Sabemos que \[M_{w} = M – M_{s} \longrightarrow M_{w} = \gamma V – M_{s}\] Substituindo na primeira equação temos \[M_{s} = \frac{\gamma V – M_{s}}{w} \longrightarrow M_{s} w = \gamma V – M_{s} \longrightarrow M_{s} w + M_{s} = \gamma V \longrightarrow M_{s} (1+w) = \gamma V\] \[\longrightarrow \frac{M_{s}}{V} = \frac{\gamma}{1+w} \longrightarrow \gamma _{d} = \frac{\gamma}{1+w}\] Chegamos a uma correlação, agora basta substituir os valores do enunciado. \[\gamma _{d} = \frac{19,1}{1+0,29} \longrightarrow \gamma _{d} = 14,8\, kN/m^{3}\]

b) Para o índice de vazios, usaremos o mesmo raciocínio anterior. Sabendo que \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}}\] podemos desenvolver uma correlação. Vamos partir do peso específico natural. \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{M_{w} + M_{s}}{V_{v} + V_{s}} \longrightarrow \gamma = \frac{wM_{s} + M_{s}}{V_{v} + V_{s}} \longrightarrow \gamma (V_{v} + V_{s}) = M_{s} (1+w) \longrightarrow\] \[\gamma V_{v} + \gamma V_{s} = \gamma _{s} V_{s} (1+w) \longrightarrow \gamma V_{v} = \gamma _{s} V_{s} + \gamma _{s} V_{s} w – \gamma V_{s} \longrightarrow \gamma V_{v} = V_{s} (\gamma _{s} + \gamma _{s} w – \gamma) \longrightarrow\] \[\frac{V_{v}}{V_{s}} = \frac{\gamma _{s} (1+w)}{\gamma} – 1 \longrightarrow e = \frac{\gamma _{s} (1+w)}{\gamma} – 1\] Com a correlação feita, podemos substituir os valores do enunciado. \[e = \frac{26,9 (1+0,29)}{19,1} – 1 \longrightarrow e = 0,817\]

c) A porosidade é definida como \[m = \frac{V_{v}}{V}\] Podemos encontrar uma correlação de m com os valores do enunciado. Partindo do peso específico natural, temos \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{M_{w} + M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{wM_{s} + M_{s}}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{\gamma _{s} V_{s} (1+w)}{V} \longrightarrow\] \[\gamma V = \gamma _{s} (V – V_{v}) (1+w) \longrightarrow \gamma V = (\gamma _{s} V – \gamma _{s} V_{v}) (1+w) \longrightarrow \gamma V = \gamma _{s} V (1+w) – \gamma _{s} V_{v} (1+w) \longrightarrow\] \[\gamma _{s} V_{v} + \gamma _{s} V_{v} w = \gamma _{s} V + \gamma _{s} w V – \gamma V \longrightarrow V_{v} (\gamma _{s} + \gamma _{s} w) = V (\gamma _{s} +\gamma _{s} w – \gamma) \longrightarrow \frac{V_{v}}{V} = \frac{\gamma _{s} + \gamma _{s} w – \gamma}{\gamma _{s} + \gamma _{s} w}\] \[\longrightarrow m = \frac{\gamma _{s} (1+w) – \gamma}{\gamma _{s} (1+w)} \longrightarrow m = 1 – \frac{\gamma}{\gamma _{s} (1+w)}\] Agora que encontramos a correlação, é só substituir os valores. \[m = 1 – \frac{19,1}{26,9 (1+0,29)} \longrightarrow m = 44,96\

d) O grau de saturação é definido por \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] Nesse caso, precisaremos do índice de vazios para fazer a correlação. Partido do próprio grau de saturação \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}} \longrightarrow Sr = \frac{M_{w}}{\gamma _{w}}\frac{1}{e V_{s}} \longrightarrow \frac{w M_{s}}{\gamma _{w} e V_{s}} \longrightarrow Sr = \frac{w\gamma_{s}}{\gamma _{w} e}\] Agora basta substituir os valores \[Sr = \frac{0,29\cdot 26,9}{10\cdot 0,817} \longrightarrow Sr = 95,48\

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Questão 1

Uma amostra de solo úmido, com um volume de 598 cm³ tem uma massa de 1010 g. Depois de seca em estufa, a massa da amostra passou para 918 g. Sabendo que o peso específico dos sólidos é 26,7 kN/m³, calcular:
(a) o índice de vazios da amostra
(b) a porosidade da amostra
(c) o teor de umidade da amostra
(d) o grau de saturação da amostra
(e) o peso específico natural da amostra

a) Sabemos que o índice de vazios é \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}}\] Precisamos então encontrar esses valores. Podemos encontrar o $$V_{s}$$ através da equação \[\gamma _{s} = \frac{M_{s}}{V_{s}} \longrightarrow 26,7\cdot 10^{3} = \frac{0,918\cdot 10}{V_{s}} \longrightarrow V_{s} = 3,43\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos obter $$V_{v}$$ da seguinte forma \[V = V_{v} + V_{s} \longrightarrow 5,98\cdot 10^{-4} = V_{v} + 3,43\cdot 10^{-4} \longrightarrow V_{v} = 2,55\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos encontrar o índice de vazios \[e = \frac{V_{v}}{V_{s}} \longrightarrow e = \frac{2,55\cdot 10^{-4}}{3,43\cdot 10^{-4}} \longrightarrow e = 0,743\]

b) A porosidade pode ser calculada por \[m = \frac{V_{v}}{V}\] Já temos os valores, basta substituir na equação \[m = \frac{2,55\cdot 10^{-4}}{5,98\cdot 10^{-4}} \longrightarrow m = 42,64\

c) O teor de umidade é definido como \[w = \frac{M_{w}}{M_{s}}\] Precisamos então da massa de água, que pode ser calculada pela diferença entre a massa úmida e a massa seca do solo \[M_{w} = M – M_{s} \longrightarrow M_{w} = 1010 – 918 \longrightarrow M_{w} = 92 g\] Agora, juntamente com a massa de sólidos, ou massa de solo seco, basta substituir na equação \[w = \frac{92}{918} \longrightarrow w = 10,92\

d) O grau de saturação é \[Sr = \frac{V_{w}}{V_{v}}\] Já temos o volume de vazios, precisamos encontrar o volume de água. Sabemos que o peso específico da água é $$\gamma _{w} = 1\, g/cm^{3}$$, então \[1 = \frac{92}{V_{w}} \longrightarrow V_{w} = 92\, cm^{3} = 0,92\cdot 10^{-4}\, m^{3}\] Agora podemos calcular o grau de saturação \[Sr = \frac{0,92\cdot 10^{-4}}{2,55\cdot 10^{-4}} \longrightarrow Sr = 36,08\

e) O peso específico natural é simplesmente a massa úmida dividida pelo volume total. Então \[\gamma = \frac{M}{V} \longrightarrow \gamma = \frac{1,01\cdot 10^{-2}}{598\cdot 10^{-6}} \longrightarrow \gamma = 16,89\, kN/m³\]

Próxima Questão

O post Lista 1: Índices Físicos apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Mostre que as matrizes $$A=\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]$$ em que y é uma número real não nulo, verificam a equação $$X^{2}=2X$$.

Solução:

Basta substituirmos os valores na equação indicada.

$$A^{2}=\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2&\frac{2}{y}\\2y&2 \end{array}\right]=2\cdot\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]=2A$$.

Exercício

Sejam $$A=\left(\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&0&-1\\4&-1&0 \end{array}\right)$$ e $$X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)$$. Verifique que

a) Verifique que $$xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=AX$$, sendo $$A_{j}$$ a j-ésima coluna da matriz $$A$$.

b) Verifique que a segunda coluna de $$C=A^{2}$$ é $$C_{2}=-2A_{1}-A_{3}$$.

c) Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam $$A$$ uma matriz $$m\times n$$ , $$B$$ uma matriz $$n\times k$$ e $$C=AB$$. Se $$C_{j}$$ é a j-ésima coluna de $$C$$, encontre $$C_{j}$$ em termos das $$n$$ colunas de $$A$$ e da j-ésima coluna de $$B$$.

Solução:

a)

\[AX=\left(\begin{array}{c}x-2y-z\\x-z\\4x-y \end{array}\right)=x\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\4 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}-2\\-0\\-1 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\0 \end{array}\right)\]

b)

$$A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}-5&-1&1\\-3&-1&-1\\3&-8&-3 \end{array}\right)$$.

Agora, precisamos verificar que existem os escalares α e β, que resolvem a equação a seguir.

$$C_{2}=\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\-8\end{array}\right) = \alpha\left(\begin{array}{c}1\\1\\4 \end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\0 \end{array}\right)$$.

Observe que temos o seguinte sistema linear:

$$zalpha-\beta =-1$$ ; $$4\alpha = -8\longrightarrow \alpha =-2$$.

Portanto, $$\beta = -1$$.

Isto nos diz que a afirmação é verdadeira, pois encontramos dois valores que resolvem o problema.

Exercício

Seja A uma matriz $$m\times n$$ e $$X = \left[\begin{array}{c}x_{1}\\.\\.\\.\\x_{n} \end{array}\right]$$ uma matriz $$n\times 1$$.

Prove que $$AX = \sum^{n}_{j=1} x_{j}A_{j}$$, em que $$A_{j}$$ é a j-ésima coluna de A.

Solução:

$$ AX =\left[\begin{array}{ccc} a_{11}&…&a_{1 n}\\…&…&…\\ a_{m 1}&…&a_{m n} \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}x_{1}\\.\\.\\.\\x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a_{11}x_{1}+…+a_{1n}x_{n}\\.\\.\\.\\a_{n1}x_{1}+…+a_{nn}x_{x} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_{1}\cdot A_{1}+…+x_{n}A_{n} \end{array}\right]= \sum^{n}_{j=1} x_{j}Aj$$

Exercício

Sejam $$E_{1}=\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\…\\0 \end{array}\right]$$ , $$E_{2}=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\\…\\0 \end{array}\right]$$, … , $$E_{n}=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\1 \end{array}\right]$$.

Se $$A=\left[\begin{array}{ccc}a_{11} &…&a_{1n}\\…\\a_{m1}&…&a_{mn} \end{array}\right]$$ é uma matriz $$m\times n$$, então $$AE_{j}=$$ j-ésima coluna da matriz $$A$$.

Solução:

Usando o exercício anterior, com $$X=E_{j}$$ ,temos:

\[AE_{j}=\sum^{m}_{j=1} x_{j}\cdot A_{j}=0\cdot A_{1}+…+1\cdot A_{j}+…0\cdot A_{n}=A_{j}\].

Exercício

a) Mostre que, se $$A$$ é uma matriz $$m\times n$$, tal que $$AX = 0$$, para toda matriz $$X$$ $$n\times 1$$, então $$A = 0$$ (matriz nula).

b) Sejam $$B$$ e $$C$$ matrizes $$m\times n$$, tais $$BX = CX$$, para todo $$X$$, $$n\times 1$$. Mostre que $$B = C$$. (Sugestão: use o item anterior.)

Solução:

a) Dada a afirmação de que $$AX=0$$, para todo vetor $$X$$ na condição apresentada, podemos substituir $$X=E_{j}$$, para todo $$j\in\{1,..,n\}$$.

Deste modo, notamos que $$AE_{j}=0$$, mas, do exercício anterior, $$AE_{j}=A_{j}$$ (vetor coluna da matriz). Portanto, $$AE_{j}=A_{j}=0$$ (vetor nulo), para todo $$j$$. Segue que a matriz é formada por vetores colunas nulos, isto é, ela também é nula.

b) \[BX=CX \longrightarrow BX-CX=0 \longrightarrow (B-C)X=0\].

Do item anterior, a matriz $$B-C$$ é nula, ou seja, $$B-C=0\longrightarrow B=C$$.

Exercício

Mostre que a matriz identidade $$I_{n}$$ é a única matriz tal que $$AI_{n} = I_{n} = A$$ para qualquer matriz A, $$n\times n$$.

Solução:

Este é um exercício no qual devemos demonstrar a unicidade da matriz identidade. Para tanto, supomos a existência de uma outra matriz $$J_{n}$$, que realiza a mesma propriedade da identidade. Além disso, lembre-se de que $$I_{n}=I^{-1}_{n}$$.

$$I_{n}J_{n}=I_{n}\Longrightarrow J_{n}=I_{n}I^{-1}_{n}=I_{n}$$.

Provamos que as duas matrizes são idênticas, isto é, $$I_{n}$$ é única.

Exercício

Dizemos que uma matriz $$A$$, $$n\times n$$, é simétrica se $$A^{t} = A$$ e é anti-simétrica se $$A^{t} = -A$$.

(a) Mostre que, se $$A$$ é simétrica, então $$a_{ij} = a_{ji}$$, para $$i, j = 1, . . . n$$ e que, se $$A$$ é anti-simétrica, então $$a_{ij} = -a_{ji}$$, para $$i, j = 1, . . . n$$. Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz antisimétrica são iguais a zero.

(b) Mostre que se $$A$$ e $$B$$ são simétricas, então $$A + B$$ e $$\alpha A$$ são simétricas, para todo escalar α.

(c) Mostre que se $$A$$ e $$B$$ são simétricas, então $$AB$$ é simétrica se, e somente se, $$AB = BA$$.

(d) Mostre que se $$A$$ e $$B$$ são anti-simétricas, então $$A + B$$ e $$\alpha A$$ são anti-simétricas, para todo escalar α.

(e) Mostre que, para toda matriz $$A$$, $$n\times n$$, $$A + A^{t}$$ é simétrica e $$A – A^{t}$$ é anti-simétrica.

(f) Mostre que toda matriz quadrada $$A$$ pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.

Solução:

https://www.youtube.com/watch?v=jpKGzH6aWYY

Exercício

Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).

a) Se $$A$$ e $$B$$ são duas matrizes $$n\times n$$ e $$AB=BA$$, então $$(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$$ para todo número natural $$p$$.

b) Se $$A$$ e $$B$$ são matrizes $$n\times n$$ tais que $$AB=0$$, então $$BA=0$$.

c) Se $$A$$ é uma matriz $$n\times n$$ e $$A^{4}−3A^{2}+7A−I_{n}=0$$, então $$A$$ é invertível (isto é, $$AB=BA=I_{n}$$, para alguma matriz $$B$$, $$n\times n$$).

Solução:

a) Verdadeiro.

Provaremos por indução finita. Primeiro, verificamos se é válido para $$p=2$$.

De fato, $$(AB)^{2}=ABAB=AABB=A^{2}B^{2}$$.

Note que, pela hipótese de as matrizes comutarem, vale $$ABAB=AABB$$.

Agora, assumimos que vale para $$p$$ e provamos para $$p+1$$.

Se $$(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$$, então \[(AB)^{p+1}=(AB)^{p} (AB)=A^{p}B^{p}AB=A^{p}AB^{p}B=A^{p+1}B^{p+1}\].

b) Verdadeiro.

Por ser $$AB=0$$, então vale $$AB+A=A\Longrightarrow A(B+I)=A$$. Da unicidade da matriz $$I_{n}$$, temos que: ou $$A=I$$, fazendo com que $$(B+I)=I\longrightarrow B=0$$, ou $$A =0$$. O raciocínio análogo valerá para $$B$$.

Deste modo, $$BA=0$$.

Bibliografia:

[1] – Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear – R. Santos

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