$$(A\cap B)\cup C = A\cap (B\cup C)$$ iff $$C\subseteq A$$.

Prove que, para quaisquer conjuntos $$A$$, $$B$$ e $$C$$,

$$(A\cap B)\cup C = A\cap (B\cup C)$$ iff $$C\subseteq A$$.

Proof:

(1) Assumimos que $$C\subset A$$.

Seja $$x\in A\cap (B\cup C)$$, então $$x\in A$$ e $$x\in  (B\cup C)$$. Há duas opções: ou $$x\in B$$, ou $$x\notin B$$. Se $$x\in B$$, é certo que $$x\in  (A\cap B)$$. Porque $$x\in (A\cap B)$$ implica $$x\in (A\cap B)\cup C$$, vale que $$x\in (A\cap B)\cup C$$.  Se $$x\notin B$$, é certo que $$x\in C$$, dado que, por hipótese, $$x\in (B\cup C)$$.  Finalmente, porque $$x\in C$$, é fato que $$x\in (A\cap B)\cup C$$.

Seja $$x\in (A\cap B)\cup C$$, então $$x\in (A\cap  B)$$ ou $$x\in C$$. No primeiro caso, $$x\in A$$ e $$x\in B$$. Porque $$x\in B$$ implica $$x\in  B$$ ou $$x\in C$$, é certo que $$x\in A$$ e $$x\in (B\cup C)$$. No segundo caso, $$x\in C$$. Porque $$C\subset A$$, é válido que $$x\in A$$ e $$x\in C$$. Dado que $$x\in C$$ implica $$x\in B$$ ou $$x \in C$$, segue que $$x\in A\cap (B\cup C)$$.

(2) Assumimos que $$(A\cap B)\cup C = A\cap (B\cup C)$$.

Basta observar que $$(A\cap B)\cup C \subset A\cap (B\cup C)$$.

Dado $$x\in C$$, é certo que $$x\in (A\cap B)\cup C$$, logo, por hipótese, $$x\in A\cap (B\cup C)$$, e, finalmente, isto implica que $$x\in A$$. Portanto $$C\subseteq A$$.

Referência:

STOLL,  Robert – Set Theory and Logic (exercício 1.4.7)

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