Solução:

O Custo Efetivo Total refere-se à taxa de juros aplicada neste financiamento. Leva-se em conta que o valor financiado (Valor Presente) não é o valor total do carro, mas o valor descontado da entrada, isto é: $$18.000 – 4.000 = R\$ 14.000$$. Para calcularmos a taxa de juros, usamos a fórmua do valor presente:

\[14.000 = 3845,05\cdot\frac{(1+i)^{4}-1}{i\cdot (1+i)^{4}}.\]

Note que não seremos capazes de encontrar uma solução analítica para essa equação polinomial, então devemos aplicar algum método numérico. Felizmente, calculadoras financeiras e planilhas realizam essa aproximação para nós! A solução numérica $$i=3,87$$0% ao mês.

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Resposta: R$ 3013,73
Solução (no vídeo a seguir):

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Resposta: R$ 271,33
Solução (no vídeo abaixo):

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Solução:
Usando a fórmula dos Juros Compostos, podemos verificar que o depósito inicial sofrerá 9 remunerações mensais de 1,7% (=0,017), então seu acumulado será de $$28.000\cdot (1+0,0017)^{9} = R\$ 32.587,17$$

Os outros 9 depósitos formam uma série uniforme de pagamentos postecipada. Usando a fórmula do Valor Futuro para série uniforme postecipada, com pagamentos iguais a R$ 3.000,00,  teremos

\[VF=3000\cdot\frac{(1+0,017)^{9}-1}{0,017}= R\$ 28.910,72\]

O acumulado total será a soma $$R\$ 32.587,17 + R\$ 28.910,72 = R\$ 61.497,88$$.

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Resposta: R$ 271,33
Solução (no vídeo a seguir):

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O IPVA de um veículo custa R$ 3.500,00. O contribuinte poderá pagar o imposto à vista, com desconto de 4,29%, ou poderá parcelar em quatro vezes iguais de R$ 875,00.  O pagamento à vista e o pagamento da primeira parcela a prazo devem ocorrer no primeiro dia do mês, e as próximas parcelas sempre ocorrerão no início dos meses subsequentes. Qual é a forma mais vantajosa ao consumidor, supondo que ele possua o valor total do IPVA depositado em uma caderneta de poupança com rentabilidade de 0,5879% ao mês.

[Cenário a prazo] A ideia por trás deste problema é que, no caso do pagamento a prazo, o valor total, de R$ 3.500,00, seja reajustado pelos juros da poupança nos próximos 4 meses. Além disso, dadas as 4 parcelas de R$ 875,00, que também sofrerão remuneração por Juros Compostos, ao chegarmos no início do 4º mês, logo após o pagamento da última prestação, teremos uma “dívida” a ser descontada da remuneração sobre os R$ 3.500,00.

• Usando a fórmula dos Juros Compostos, teremos a remuneração total de $$3500\cdot (1+0,005879)^3 = R\$ 3.562,09$$.
• O Valor Futuro do desconto será de $$VF = 875\cdot\frac{(1+0,005879)^{4}-1}{0,005879} = R\$ 3.530,99$$.
• O Saldo com o qual o contribuinte ficará após o pagamento da 4ª parcela no início do 4º mês será de $$3.562,09 – 3.530,99 = R\$ 31,11$$.

[Cenário à vista] Por outro lado, se o contribuinte optar por realizar o pagamento do IPVA com desconto, ele ficará com um saldo inicial de $$3500 – 3500*(1-0,0429) = 3500\cdot 0,0429 =  R\$ 150,15$$. Esse saldo será reajustado de acordo com a fórmula dos Juros Compostos, então, no início do 4º mês, ele será de $$150,15\cdot (1+0,005879)^{4} =  R\$ 152,81$$.

[Conclusão] O pagamento à vista e com desconto fez com que o contribuinte tivesse o total de R$ 152,81 em caixa, mas o pagamento a prazo deixou-o apenas com R$ 31,11.

O Passo a Passo da Conta
O cálculo do saldo final que o contribuinte possui no cenário a prazo pode ser visto mensalmente na tabela abaixo.

• Saldo no início do 1º mês: $$3500 – 875 = R\$ 2625,00$$.
• Saldo no início do 2º mês: $$2625\cdot (1+0,005879) – 875 = R\$ 1.765,43$$.
• Saldo no início do 3º mês: $$1.765,43\cdot (1+0,005879) – 875 = R\$ 900,81$$.
• Saldo no início do 4 mês: $$900,81\cdot (1+0,005879) – 875 = R\$ 31,11$$.

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Solução:

Se o preço ($$VP$$) do produto for financiado à taxa de 1,4% (=0,014) ao mês, o valor das 4 prestações (x) relacionar-se-á ao VP or meio da fórmula do valor presente:

\[VP = x\frac{(1+0,014)^{4}-1}{0,014\cdot (1+0,014)^{4}}=3,8638x.\]

Como a loja quer “mascarar” o financiamento por meio da propaganda do parcelamento sem juros, o total à vista, que seria, sob a propaganda, igual a $$4x$$, deverá ser igual a $$3,8638x\cdot(1+r)$$, isto é: o valor que calculamos para o financiamento acrescido de uma taxa percentual $$r$$. Daqui, temos

\[4x=3,8638\cdot (1+r)\Longrightarrow\]

\[1+r = \frac{4}{3,8638}-1= 1,03524\Longrightarrow\]

$$r = 0,03524 = $$3,524%.

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a) o primeiro depósito ocorre no final do mês de janeiro;
b) o primeiro depósito ocorre no final do mês de abril.

Solução:

a) Observe que houve 4 meses com depósitos e 8 meses com somente remuneração por juros, precisamos, então, calcular o valor presente no instante imediatamente posterior ao último depósito. Além disso, a taxa de juros é de 1,2% = 0,012. Usando a fórmula de Juros Compostos, teremos:

\[100000=VP\cdot (1+0,012)^{8}\Longrightarrow\]

\[VP=\frac{100000}{(1+0,012)^{8}}=R\$ 90.898,33.\]

O valor que acabamos de encontrar é o valor futuro da série uniforme de pagamentos postecipados. Usando a fórmula que relaciona Valor Futuro e Prestações, teremos

\[90898,33 = PGTO\cdot\frac{[(1+0,012)^{4}-1]}{0,012}\Longrightarrow\]

\[90898,33 = PGTO\cdot 4,07\Longrightarrow\]

\[PGTO = \frac{90898,33}{4,07}=R$ 22.319,61.\]

b) Se o primeiro depósito ocorreu no fim de abril, o último depósito foi feito ao final de Julho, de modo que sobraram 5 meses com remuneração sem depósitos. Calculamos, antes de tudo, o valor presente da aplicação no instante imediatamente posterior ao último depósito. Pela fórmula dos Juros Compostos, temos

\[100000=VF=VP\cdot(1+0,012)^{5}\Longrightarrow\]

\[VP = \frac{100000}{(1+0,012)^{5}}=R$ 94.210,09.\]

Por meio da fórmula do Valor presente de séries uniformes, temos

\[R$ 94.210,09 = PGTO\cdot\frac{[(1+0,012)^{4}-1]}{0,012}\Longrightarrow\]

\[R$ 94.210,09 = PGTO\cdot 4,07\Longrightarrow\]

\[PGTO = \frac{R$ 94.210,09}{4,07}=R$ 23.132,79.\]

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Solução:

Ao calcularmos o valor presente do fluxo de caixas apresentado, notaremos que ele é diferente do valor à vista. Neste caso, a taxa nominal de 12% a.a é convertida em taxa mensal efetiva de 12%/12 = 1%  a.m, as prestações são de R$ 1700 e o período é de 12 meses. Prosseguindo, temos

\[VP = 1700\cdot\frac{(1+0,01)^{12}-1}{1%\cdot (1+0,01)^{12}}=R\$ 19.133,63. \]

• Acesse mais exercícios resolvidos sobre séries uniformes, aqui!

A fim de que o resultado acima seja o valor financiado, requer-se uma entrada de $$25.000 – 19.133 = R\$ 5.866,37$$.

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