a) 4,68
b) 6,30
c) 9,30
d) 10,50
e) 10,65

Solução:
Indicamos por $$x$$ o preço do tíquete azul e indicamos por $$y$$ o preço do tíquete vermelho. Como cada cartela tem 9 tíquetes, teremos que 18 tíquetes azuis e 9 tíquetes vermelhos custam R$ 32,40, ou seja: $$18x+9y = 32,40$$. Dividindo essa equação por 9, obtemos $$2x+y=3,6$$.

Além disso, $$x-y = y + 0,05$$, ou seja: $$x = 2y + 0,05$$. Vamos substituir essa expressão na primeira equação obtida, então ficamos com $$2(2y+0,05)+y=3,6$$. o que fornece $$5y = 3,5$$, logo $$y=0,7$$.

Note que queremos o valor de uma cartela de 9 tíquetes vermelhos, então buscamos por $$9\cdot 0,7 = R\$ 6,30$$.

Resposta: b)

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a) 25%
b) 24%
c) 20%
d) 16%
e) 5%

Solução:
Seja $$x$$ o número de acertos; seja $$y$$ o número de erros. Então

• $$x+y=25$$ e
• $$0,4x – 0,1y=0,5$$.

Fazendo $$y=25-x$$, na primeira equação, e substituindo na segunda, obtemos

\[0,4x – 0,1\cdot (25-x)=0,5\Longrightarrow\]

\[0,4x – 2,5 + 0,1x = 0,5\Longrightarrow\]

\[0,5x = 3\Longrightarrow\]

\[x = 3/0,5 = 6.\]

O total de acertos foi 6, então o percentual de acertos é $$\frac{6}{25} = 0,24 =$$ 24%.

O post Porcentagem – Em uma prova de 25 questões, cada resposta certa vale apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?

Solução:
Os comprimentos dos fios serão denotados por $$4x$$ e $$4y$$, respectivamente, uma vez que cada uma das partes cortadas será dividida em outras 4 partes menores, para formarmos os quadrados. Como os fios formarão quadrados, suas áreas serão $$x^{2}$$ e $$y^{2}$$, respectivamente. Além disso, sabemos que a área de um é quatro vezes a área do outro, isto é: $$y^{2}=4x^{2}$$

a) Temos um sistema com as equações

• $$4x+4y=48$$ (simplificando: $$x+y=12$$)
• $$y^{2}=4x^{2}$$.

Se extrairmos a raiz quadrada da segunda equação, obtemos duas possibilidades: $$y=2x$$ ou $$y=-2x$$ Substituindo a primeira opção na primeira equação, obtemos

\[x+2x=12\Longrightarrow 3x = 12 \Longrightarrow x = 12/3 = 4.\]

Então $$y=2\cdot 4 = 8$$.

Substituindo a segunda opção, obtemos

\[x-2x = 12 \Longrightarrow -x=12.\]

Esta solução não será usada, pois o comprimento do fio não pode ser medida negativa. Desse modo, concluímos que $$x=4$$ e $$y=8$$.

b) As áreas serão $$x^{2}=4^{2}=16$$ e $$y^{2}=8^{2}=64$$.

O post Equação do 2º Grau – Questão 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

(A) 110.
(B) 100.
(C) 90.
(D) 80.
(E) 70.

Gabarito: e)
Solução:

O post UNIVESP – Um estudante dispõe de folhas de papel sulfite apareceu primeiro em Educacional Plenus.

(A) 25.
(B) 28.
(C) 30.
(D) 33.
(E) 35.

Gabarito: b)
Solução (no vídeo abaixo):

O post UNIVESP – Uma loja colocou copos e canecas em promoção apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) R$ 136,00
b) R$ 138,00
c) R$ 140,00
d) R$ 142,00
e) R$ 144,00

Solução:
Seja $$x$$ o número de alunos, e seja $$d$$ as despesas da festa. No início do ano letivo, a equação que representa o problema é $$135x = d$$.  Após a saída dos 7 alunos, teríamos $$(x-7)\cdot 162 = d$$.

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos $$162x – 7\cdot 162 = 135 x$$, logo $$27x = 7\cdot 162$$, ou seja, $$x= 42$$. A despesa inicial é calculada pela primeira equação: $$135\cdot 42 = R\$ 5.670,00$$.

Como o diretor desembolsou R$ 630,00 para reduzir as despesas, o total de despesas ficou em $$5670 -630 = R$ 5040,00$$. Se dividirmos esse valor pelo total de alunos que participaram da festa (42-7 = 35), obtemos $$\frac{5040}{35} = R\$ 144,00$$.

O post Problemas de Sistemas de Equações – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00

Solução:
A fórmula dos Juros Compostos é dada por $$V_{final}=V_{inicial}\cdot (1+i)$$, em que $$i$$ é o percentual de juros. Se somarmos os capitais de João(x), Maria(y) e Antônia(z), teremos a equação $$x+y+z=100.000$$.

Após um ano de aplicação, cada u ficou com um capital de $$V_{inicial}(1+10%) = 1,1\cdot V_{inicial}$$. Então os três amigos ficaram, respectivamente, com $$1,1x, 1,1y$$ e $$1,1z$$. Após mais um ano de rentabilidade a 10%, cada amigo terá $$1,1\cdot V_{inicial}\cdot (1+10%) = 1,21\cdot V_{inicial}$$, logo os capitais de cada um são, respectivamente $$1,21x, 1,21y$$ e $$1,21z$$.

Ao final do primeiro ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 + o dobro do capital atualizado de João, então ela obteve $$1,1z = 11.000 + 2,2x$$. Podemos reescrever essa equação deste modo: $$1,1z-2,2x = 11.000$$, então $$z-2x = 10.000$$.

Ao final do segundo ano, Antônia passou a ter a soma dos capitais atualizados de João e Maria, isto é: $$1,21z = 1,21x+1,21y$$, logo $$z=x+y$$. As equações do sistema são:

• x+y+z = 100.000
• z-2x=10.000
• z=x+y.

Substituindo ‘z’ nas duas primeira equações, obtemos $$2x+2y = 100.000$$ e $$y-x = 10.000$$. Se multiplicarmos a segunda dessas equações por (-2) e somarmos à primeira delas, obtemos

\[4x = 100.000 – 20.000 = 80.000.\]

Daqui, temos $$x=R\$ 20.000,00$$.

O post FUVEST – João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

O irmão de Luísa, que adora as aulas de matemática, rapidamente chegou à resposta correta. Havia quantos gatos para adoção?

a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.

Gabarito: b)
Solução (no vídeo a seguir):

O post UNICAMP 2024 – Questão 56 (1ª Fase) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Sendo $$x$$ a massa da liga A e sendo $$y$$ a massa da liga B, temos a soma $$x+y=120$$.
Como metade do valor total será de ouro, teremos $$0,25x + 0,55y = 60 (*)$$. Note que os coeficientes à frente das incógnitas provêm da proporção inicial fornecida pelo enunciado (25% da massa ‘x’ são ouro | 55% da massa ‘y’ são ouro).

Temos um sistema de duas equações e duas incógnitas, um sistema possível e determinado.
Pondo $$y=120-x$$, teremos, ao substituir em $$(*)$$, o valor $$0,25x + 0,55(120-x) = 60$$.

Daqui, temos $$-0,3x + 66 = 60$$, o que resulta em $$0,3x = 6$$, logo $$x=6/0,3 = 20 g$$.

O post Porcentagem – Questão 43 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• Veja a resolução das questões desta prova, aqui!

(A) R$ 100,00.
(B) R$ 120,00.
(C) R$ 140,00.
(D) R$ 160,00.
(E) R$ 180,00.

Gabarito: a)
Solução:

O post UNIVESP 2022 – Questão 8 apareceu primeiro em Educacional Plenus.