O post Demonstração da Soma e do Produto apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 0.
b) 3.
c) 6.
d) 12.
Solução:
Utilizando soma e produto, obteremos os coeficientes da equação $$ax^{2}+bx+c$$.

$$-1+4=-\frac{b}{a} \Longrightarrow b=-3a$$.
$$(-1)\cdot 4 = -4=\frac{c}{a}\Longrightarrow c = -4a$$.
$$-12=p(5)=a5{2}+5b+c=25a-15a-4a\Longrightarrow -12=6a\Longrightarrow a = -2$$.

A equação da parábola é $$p(x)=-2x^{2}+6x+8$$.

Além disso, $$8=p(x)=-2x^{2}+6x+8\Longrightarrow -2x^{2}+6x=0\Longrightarrow x(6-2x)=0$$.
Assim, teremos $$x=0$$ ou $$x=3$$.

Resposta: b)

O post Seja p(x) um polinômio do 2° grau, satisfazendo as seguintes apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Usando as fórmulas da Soma e do Produto das raízes de equações do segundo grau e chamando a outra raiz de $$x$$, teremos $$x+1-\sqrt{5} = -b$$ e $$x(1-\sqrt{5})=c$$.

A fim de que b seja inteiro, necessitamos de que $$x+1-\sqrt{5}$$ não tenha raiz quadrada. Desse modo, $$x=k+\sqrt{5}$$, em que $$k$$ é um número inteiro, pois $$x+1-\sqrt{5} = k+1$$.

Substituindo essa expressão na segunda fórmula, obtemos $$(k+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})=k+\sqrt{5} – k\sqrt{5} – 5 = c$$, que também é um número inteiro. Para isso, devemos eliminar as raízes quadradas, isto é: $$\sqrt{5} – k\sqrt{5} = 0$$. Daqui, obtemos $$k = 1$$.

Substituindo $$k=1$$ na expressão de $$c$$, obtemos $$c = 1-5 = -4$$.

O post Uma das raízes da equação x² + bx + c = 0 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Usando a fórmula do Produto de Raízes, obtemos $$x_{1}\cdot x_{2}=47$$. Note que 47 é um número primo, então as únicas decomposições possíveis, em números naturais, são $$x_{1}=1$$ e $$x_{2}=47$$ ou $$x_{1}=47$$ e $$x_{2}=1$$. Daqui, concluímos que a diferença pode ser $$1-47 = -46$$ ou $$47-1=46$$.

O post As raízes da equação x² + bx + 47 = 0 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Use as fórmulas de Soma e Produto com $$a=2$$, $$b=-5$$ e $$c=7$$.

• Soma = $$-\frac{-5}{2} = 2,5$$.
• Produto = $$\frac{-7}{2}=-3,5$$.

O post Soma e Produto – Questão 7 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Use as fórmulas de Soma e Produto com $$a=1$$, $$b=1$$ e $$c=-1$$.

• Soma = $$-\frac{1}{1} = -1$$.
• Produto = $$\frac{-1}{1}=-1$$.

O post Soma e Produto – Questão 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Use as fórmulas de Soma e Produto com $$a=3$$, $$b=6$$ e $$c=-9$$.

• Soma = $$-\frac{6}{3} = -2$$.
• Produto = $$\frac{-9}{3}=-3$$.

O post Soma e Produto – Questão 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) O produto das raízes é – 1.
b) As raízes são números opostos.
c) Uma das raízes é o número zero.

Solução:
Usaremos, em todos os exercícios, a fórmula da Soma e do Produto de raízes. Sejam $$x_{1}$$ e $$x_{2}$$ as raízes, então

• Soma = $$x_{1}+x_{2}=-\frac{2m-5}{m-2}=\frac{5-2m}{m-2} (*)$$, e
• Produto = $$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{1-2m}{m-2} (**)$$.

a) Produto = -1. Então a equação $$(**)$$ fica

\[-1=\frac{1-2m}{m-2}\Longrightarrow -m+2 = 1-2m \Longrightarrow \]

\[2m-m = 1-2 \Longrightarrow m = -1 .\]

b) As raízes são opostas, isto é: $$x_{1}=-x_{2}$$. Substituindo tal informação na fórmula $$(*)$$, obtemos

\[x_{1}+x_{2}=0=\frac{5-2m}{m-2}.\]
Teremos, então, $$5-2m=0$$, logo $$2m=5$$ e $$m=5/2 = 2,5$$.

c) Se uma das raízes é nula, então Produto = 0. Substituindo tal informação na equação $$(**)$$, obtemos

\[0 = \frac{1-2m}{m-2}.\]

A solução ocorre quando $$1-2m=0$$, logo $$2m=1$$ e $$m=1/2$$.

O post Soma e Produto – Questão 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Seja $$x$$ a segunda raiz desta equação. Usando Soma e Produto de Raízes, podemos escrever $$2+x=\frac{-1}{a}$$ e $$2\cdot x = \frac{-6}{a}$$.

Note que  $$2\cdot x = \frac{-6}{a} \Longrightarrow x= \frac{-3}{a}$$. Substituindo esse valor de $$x$$ na primeira expressão (a expressão da soma das raízes), obtemos

\[2-\frac{3}{a}=-\frac{1}{a}\Longrightarrow\]

\[2 = -\frac{1}{a}+\frac{3}{a}\Longrightarrow\]

\[2=\frac{-1+3}{a}=\frac{2}{a}\Longrightarrow\]

\[a = \frac{2}{2}=1.\]

Retornando à expressão da soma das raízes, observamos que $$2+x=\frac{-1}{1}=-1$$, logo $$x=-3$$.

O post Soma e Produto – Questão 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) –15
b) –10
c) +12
d) +15
e) +36

Solução:
Observe que $$\frac{x” + x’}{x’\cdot x”}=\frac{1}{x’} + \frac{1}{x”} = \frac{5}{12}$$. Note que o numerador é a soma das raízes e que o denominador é o produto, isto é:

\[\frac{Soma}{Produto}=\frac{5}{12}.\]

Agora, calculamos, por meio da fórmula:

$$Soma = -\frac{k}{1} = -k$$ e $$Produto = \frac{36}{1} = 36$$.

Retomando a equação inicial, teremos $$\frac{-k}{36}=\frac{5}{12}$$, donde teremos $$-k = \frac{36\cdot 5}{12}=15$$, logo $$k=-15$$.

O post Soma e Produto – Questão 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.