Solução:
i) O termo inicial da PG é $$a_{1}=1$$ e a razão é $$q=log(x)$$.

Usando a soma infinita da progressão geométrica, obtemos $$\frac{1}{1-log(x)}=3/5$$.
A equação anterior pode ser reescrita como $$1 – log(X)=5/3$$, o que equivale a $$log(x) = -2/3$$.

ii) Aplicando-se a definição de logaritmo, obtemos $$10^{-2/3}=x$$, e ao elevarmos ambos os lados à terceira potência, obtemos $$10^{-2}=x^{3}$$.

O post Progressão Geométrica – Exercício 30 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
i) Usando a fórmula da soma infinita da PG, obtemos $$\frac{sen^{2}(x)}{1-\frac{sen^{2}(x)}{2}}=2$$. Arrumando a equação, teremos $$\frac{2sen^{2}(x)}{2-sen^{2}(x)}=2$$.

Multiplicando em “cruz” e dividindo ambos os lados por 2, obtemos $$sen^{2}(x)=1$$, que resulta em $$sen(x)=\pm 1$$.

ii) Os arcos da primeira volta que satisfazem a equação trigonométrica são $$x=\frac{\pi}{2}$$ ou $$x=\frac{3\pi}{2}$$. No caso de todas as voltas possíveis, temos $$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$, para $$k=0,1,2,…$$.

Como o valor máximo é 20π, observamos que $$\pi/2 + k\pi = 20\pi$$ implica $$k=20-1/2 = 19,5$$.
Como $$k$$ é um número natural, o maior valor possível para ele é $$k=19$$. Além dessas 19 soluções, temos a inicial (k=0), totalizando  20 soluções.

O post Progressão Geométrica – Exercício 29 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 3/8
b) 1/27
c) 5/32
d) 2/9
e) 4/27

Solução:
i) Usando a fórmula da soma de uma PG infinita, escrevemos que $$\frac{a_{1}}{1-q}=9$$. Podemos isolar o primeiro termo da PG deste modo: $$a_{1}=9(1-q)$$.

Note, agora, que a sequência dos quadrados da PG também é uma PG: $$a^{2}_{1}, a_{1}^{2}q^{2},…$$, cuja razão é q². Usando novamente a fórmula da soma, obtemos $$\frac{a^{2}_{1}}{1-q^{2}}=40,5$$.

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos

\[81\cdot (1-q)^{2}=40,5\cdot (1-q^{2})\Longrightarrow\]

\[3q^{2}-4q+1=0.\]

ii) Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos $$q=\frac{4\pm 2}{6}$$. Apenas a solução $$q=1/3$$ nos interessa, dado se tratar de uma progressão geométrica decrescente.

Retornando à primeira equação, obtemos $$a_{1}=9(1-1/3) = 6$$.

iii) O quarto termo será, pelo termo geral, $$a_{4}=a_{1}q^{3} = 6\cdot(\frac{1}{3})^{3}=\frac{2}{9}$$.

O post Progressão Geométrica – Exercício 28 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
A soma de toda a PG infinita será $$4=\frac{8}{3}+\frac{4}{3} = \frac{a_{1}}{1-q}(*)$$.

Se tomarmos apenas a progressão geométrica de termos com índice par, teremos a soma $$a_{2}+a_{2}q^{2}+a_{2}q^{4}+…$$. Observe que a razão dessa progressão é q² e seu termo inicial é $$a_{2}=a_{1}q$$.

Pela fórmula da soma infinita de uma PG, temos $$\frac{a_{1}q}{1-q^{2}}=\frac{4}{3}(**)$$.

A equação $$(*)$$ fornece $$a_{1}=4(1-q)$$. Substituindo essa igualdade na equação $$(**)$$, obtemos

\[\frac{4(1-q)q}{1-q^{2}}=\frac{4}{3}\Longrightarrow\]

\[3(1-q)q=1-q^{2}\Longrightarrow\]

\[2q^{2}-3q+1=0.\]

Usando Bhaskara, teremos as soluções $$q=\frac{3\pm\sqrt{9 – 8}}{4}=\frac{3\pm 1}{4}$$.

A única solução possível será $$q=1/2$$, uma vez que a progressão com soma infinita deve ter a razão positiva e inferior a 1.

Retornando à equação $$(*)$$, obtemos $$a_{1}=4\cdot (1-\frac{1}{2}) = 2$$.

O post Progressão Geométrica – Exercício 27 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[x(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+…)=18, \text{para } x\in\mathbb{R}.\]

Sabendo que o primeiro membro dessa equação é a soma dos termos de uma progressão geométrica
infinita, o valor de x é igual a:

(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12

Solução:
Gabarito: d)

O post UERJ 2023 – Questão 23 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 8/27
b) 20/27
c) 26/27
d) 30/27
e) 38/27

Solução:

Igualamos o 3a₁ à soma infinita dessa progressão geométrica e obtemos

\[3a_{1}=S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-a_{1}}\Longrightarrow\]

\[3(1-a_{1})=1\Longrightarrow a_{1}=(2/3).\]

Observe que excluímos a possibilidade de $$a_{1}=q=0$$.

A sequência é (2/3 ;  4/9 ; 8/27,…), e a soma dos três primeiros termos é 38/27.

O post Progressão Geométrica – Exercício 17 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

O perímetro do triângulo da etapa 1 é 3 e sua altura é h; a altura do triângulo da etapa 2 é metade da altura do triângulo da etapa 1; a altura do triângulo da etapa 3 é metade da
altura do triângulo da etapa 2 e, assim, sucessivamente.

Assim, a soma dos perímetros da sequência infinita de triângulos é

A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.

Solução:

Da geometria, sabemos que a altura (h) de um triângulo equilátero relaciona-se com seu lado (L) por meio da fórmula $$l=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$$. Também sabemos que o perímetro do triângulo equilátero é $$p=3l$$, então, com as duas fórmulas, concluímos que $$p=2\sqrt{3}h (*)$$.

Além disso, de acordo com o enunciado, as alturas são reduzidas pela metade a cada novo triângulo, portanto a sequência de perímetros também é reduzida pela metade, uma vez que $$(p/2) = 2\sqrt{3}(h/2)$$, então os perímetros formam uma progressão geométrica de razão q = 2 e termo inicial a₁ = 3.

Usando a fórmula da PG infinita, temos

\[s_{\infty}=\frac{3}{\frac{1}{2}-1}=6.\]

O post Progressão Geométrica – Exercício 16 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Os termos dessa série formam uma progressão geométrica de termo inicial $$a_{1}=x$$ e razão $$q=1/2$$. Usando a fórmula da PG infinita, temos

\[100=S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{x}{1-\frac{1}{2}}\Longrightarrow\]

\[x = (1/2)\cdot 100 = 50.\]

O post Progressão Geométrica – Exercício 8 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

[A] 2 e 4.
[B] 2 e – 4.
[C] – 4 e 2.
[D] 4 e – 2.
[E] – 2 e 4.

Solução:

O post EsPCEx 2021 – Q.5 – Matemática apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 3/2.

b) 2.

c) 5/2.

d) 3.

Solução:

UNICAMP 2021 – 1ª Fase – 1º Dia – Q.30 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

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