U={(x,y,z,t)∈R⁴ | x-y+z+t=0 e -x+2y+z-t=0}.

Solução:

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•Considere o espaço vetorial real $$𝑉=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})$$ e o subconjunto 𝑈={𝑝(𝑥)∈𝑉 | ∫ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥+2𝑝′(0)=0}.
a) Mostre que o subconjunto 𝑈 é um subespaço vetorial de 𝑉
b) Determine uma base para 𝑈
Clique para ver a solução

• Sejam $$F_{1}$$ e $$F_{2}$$ subespaços vetoriais de $$E$$. Se existir algum $$a\in E$$, para o qual $$a+F_{1}=F_{2}$$, prove que $$F_{1}\subset F_{2}$$.
Clique para ver a solução

• Seja $$V=\mathcal{F}(X,R)$$ o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em um conjunto X. Fixado $$t_{0} \in X $$, mostre que o conjunto $$U=\{f(x)∈V | f(t_{0})=0\}$$ é um subespaço vetorial de $$V$$. Clique para ver a solução

• Seja $$V$$ o espaço vetorial das funções dos reais nos reais. Seja $$E_{p}$$ o subconjunto de $$V$$, cujas funções são pares. Seja $$E_{i}$$ o subconjunto com funções ímpares. Prove os itens:
a) $$E_{p}$$ e $$E_{i}$$ são subespaços vetoriais.
b) $$E_{p}\cap E_{i}=\emptyset$$.
c) $$V= E_{p}\oplus E_{i}$$ (soma direta).
Clique para ver a Solução

• Prove que a reunião de dois subespaços vetoriais de E é um subespaço vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro. Clique para ver a solução.

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a) Mostre que o subconjunto 𝑈 é um subespaço vetorial de 𝑉

b) Determine uma base para 𝑈

Solução:

https://youtu.be/maRCCnTOLGQ

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Solução:

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Solução:

Referências:

[1] – Hoffmann, K. , Kunze, R. – Linear Algebra

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Solução:

Por definição, $$a+F_{1}=\{a+v; v\in F_{1}\}$$.

Assim, $$a+0=a\in F_{2}$$, pois $$0\in F_{1}$$ (subespaço vetorial), e, consequentemente, é verdade que $$-a\in F_{2}$$.

Para qualquer $$v\in F_{1}$$, sabe-se que $$v+a\in F_{2}$$. Porque $$F_{2}$$ também é um subespaço vetorial, é fato que $$v=v+a+(-a)\in F_{2}$$, isto é: se $$v\in F_{1}$$, tem-se $$v\in F_{2}$$. $$F_{1}\subset F_{2}$$.

Referências

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Solução:

Sejam os subespaços $$V$$ e $$W$$.

Sem perda de generalidade, digamos que $$V\subset W$$. Então $$V\cup W = W$$. Assim, por hipótese de $$W$$ ser um subespaço, $$V\cup W$$ é um subespaço vetorial de $$E$$.

Reciprocamente, seja $$V\cup W$$ um subespaço vetorial de $$E$$. Diremos que existe $$x_{0}\in V\setminus W$$, e existe $$y_{0}\in W\setminus V$$ (diferença de conjuntos), isto é, $$x_{0}$$ pertence exclusivamente a $$V$$, e $$y_{0}$$ pertence exclusivamente a $$W$$. Assim, $$V\nsubseteq W$$ e $$W\nsubseteq V$$.

Além disso, $$x_{0},y_{0}\in V\cup W$$, logo $$x_{0}+y_{0}\in V\cup W$$.  Deste modo, teremos $$x_{0}+y_{0}\in V$$ ou $$x_{0}+y_{0}\in W$$.

No primeiro caso, como $$ V\ni x_{0}$$ e é espaço vetorial , então $$V\ni x_{0}+y_{0}+(-x_{0})=y_{0}$$. Isto se configura como um absurdo, dado que, por hipótese, $$y_{0}\notin V$$. Sobrará apenas o segundo caso, $$x_{0}+y_{0}\in W$$. Mas, pelo mesmo argumento, $$W\ni x_{0}+y_{0}-y_{0}=x_{0}$$, isto é, tem-se um novo absurdo, por hipótese.

Neste caso, a fim de que seja eliminada a contradição, tem-se ou $$x_{0}\in W$$ ou $$y_{0}\in V$$. Sem perda de generalidade, escolhendo-se $$x_{0}\notin V\setminus W$$, teremos $$x_{0}\in W$$, isto é, não existe $$x_{0}\in V\setminus W$$, logo $$V\subset W$$. O resultado é análogo para $$V$$.

Referências

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a) $$E_{p}$$ e $$E_{i}$$ são subespaços vetoriais.

b) $$E_{p}\cap E_{i}=\emptyset$$.

c) $$V= E_{p}\oplus E_{i}$$ (soma direta).

Solução:

a) 

Sejam $$\phi (x)$$ e $$\varphi(x)$$, funções reais pares, isto é, $$\phi (-x)=\phi (x)$$ e $$\varphi(-x)=\varphi(x)$$.

i. A função $$0(x)=0$$, para todo $$x\in\mathbb{R}$$. Em particular, nota-se que $$0(x)=0=-0=0(-x)$$.

Portanto $$0(x)\in E_{i}$$.

ii. A soma de funções pares está em $$E_{i}$$. De fato, basta observar que:

\[g(x)=\phi (x) + \varphi(x)=\phi (-x) + \varphi(-x)=g(-x)\].

Portanto $$g(x)$$ é par.

iii. A multiplicação por escalar está em $$E_{i}$$. De fato, para $$\alpha\in\mathbb{R}$$, basta observar que:

\[h(x)=(\alpha\phi)(x)=\alpha\cdot\phi(x)=\alpha\cdot\phi(-x)=(\alpha\phi)(-x)=h(-x)\]

Portanto $$h(x)$$ é par.

Um raciocínio análogo vale para o subespaço das funções ímpares.

b) De (i), sabemos que $$0(x)$$ é par e ímpar. Supomos a existência de $$\eta(x)$$ que seja ímpar e par, isto é, valerá, para todo $$x\in\mathbb{R}$$, a relação:

\[\eta(-x)=\eta(x)=-\eta(x)\].

O único número que satisfaz à relação $$a=-a$$ é o número zero. Portanto, para todo $$x\in\mathbb{R}$$, $$\eta(x)=0$$.

Portanto $$E_{p}\cap E_{i}=\{0(x)\}$$.

c) Seja $$f(x)\in V$$. Podemos escrevê-la assim: $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$. Qualquer função real pode ser escrita como combinação linear de termos análogos ao de cima.

Agora, basta provarmos que o primeiro termo é uma função par, e o segundo termo é uma função ímpar.

\[g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(-x) \].

\[h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{-f(-x)+f(x)}{2}=-\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-h(x)\].

Portanto uma função real é combinação linear de uma função par e de uma função ímpar. Como a intersecção dos espaços é igual ao vetor nulo, temos $$V=E_{p}\oplus E_{i}$$.

Referências:

[1] – Hoffmann, K. , Kunze, R. – Linear Algebra

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