Solução:

Por ser uma sequência de Cauchy, fixando $$x$$, escolha $$\epsilon = 1$$. Assim, existirá $$p_{\epsilon}\in\mathbb{N}$$ tal que $$||T_{n}(x)-T_{n+p}(x)||<1$$. Pondo $$n=1$$, obtemos:

\[||T_{n+p}||<1+||T_{1}(x)||\]. Portanto, para todo $$p>p_{\epsilon}$$, temos $$||T_{n+p}||<c_{1}$$, com $$c_{1}=1+||T_{1}(x)||$$.

Agora, basta escolher $$c_{x}=max\{||T_{1}(x)||,…,||T_{p_{\epsilon} +1}(x)||, c_{1} \}$$, para termos as hipóteses do teorema de Banach-Steinhaus. Concluímos, pelo referido teorema, que existe $$a>0$$ tal que $$||T_{n}||<a$$.

O post Introdução à Análise Funcional – Teorema de Banach-Steinhaus (exercício 1) apareceu primeiro em Educacional Plenus.