– Massa: M -> quilograma (kg)
– Comprimento: L -> metro (m)
– Tempo: T -> segundo (s)
– Temperatura: $$\theta$$ -> kelvin (K)
– Corrente elétrica: I -> ampère (A)

• Representação da unidade dimensional

[v] = m/s
[s] = m

Se o número n for puro, ou seja, adimensional, [n] = 1

• Princípio da homogeneidade

Uma equação física só pode ser verdadeira se os dois lados da equação tiverem a mesma unidade dimensional.

• Método dos coeficientes desconhecidos

Utilizado para prever uma equação por meio de coeficientes aplicados à dimensão de cada grandeza formadora da equação.

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Prove que $$(A\cup B)-(A\cap B)=(A-B)\cup (B-A)$$.

Demonstração:

i) Afirmamos que $$(A\cup B) – (A\cap B)\subseteq (A-B)\cup (B-A)$$.

Com efeito, sê $$x\in (A\cup B) – (A\cap B)$$. Há duas opções. No primeiro caso, supomos que $$x\in A$$, então $$x\notin B$$; do contrário, teríamos $$x\in A$$ e $$x\in B$$, algo que contraria a hipótese inicial de que $$x\notin (A\cap B)$$. Daqui, prova-se que $$x\in (A-B)$$. No outro caso, $$x\notin A$$, então $$x\in B$$, dado que, por hipótese, $$x\in (A\cup B)$$. Daqui, conclui-se que $$x\in B$$ e $$x\notin A$$, isto é, $$x\in (B-A)$$. Finalmente, temos $$x\in (A-B)$$ ou $$x\in (B-A)$$.

ii) Afirmamos que $$(A\cup B) – (A\cap B)\supseteq (A-B)\cup (B-A)$$.

De fato, dado $$x\in (A-B)\cup (B-A)$$, $$x\in (A-B)$$ ou $$x\in (B-A)$$. No primeiro caso, $$x\in A$$ e $$x\notin B$$. Da primeira consequência, é certo que $$x\in (A\cup B)$$, uma vez que $$A\subset (A\cup B)$$. Da segunda consequência, claramente $$x\notin (A\cap B)$$, dado que $$x\notin B$$ e $$B\supset (A\cap B)$$. Portanto, se $$x\in (A-B)$$, é fato que $$x\in (A\cup B)$$ e $$x\notin (A\cap B)$$.

Para fechar a demonstração de (ii), basta percorrer o mesmo caminho no caso em que $$x\in (B-A)$$.

iii) As duas afirmações anteriores equivalem ao teorema proposto.

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