Lista de exercícios resolvidos sobre Aplicações Lineares: definição, exercícios práticos, exercícios teóricos, produto (composição) de transformações lineares, operadores lineares, Teorema do Núcleo e da Imagem,...
Sejam A, P : E → E operadores lineares não nulos tais que AP = 0. Prove que existem vetores diferentes de zero u ≠...
Determine uma transformação linear $$T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3}$$ tal que \[ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} | x+y+z=0\}.\] Solução:
Sejam $$V$$ e $$W$$ espaços vetoriais sobre o corpo $$F$$, e seja $$U$$ um isomorfismo de $$V$$ em $$W$$. Demonstrar que $$\phi: T\mapsto UTU^{-1}$$ é...
Determine a transformação linear T:R²→Ρ3 (R) tal que T(1,1) = x²-1 T(1,-1) = x³+1 Solução:
Determine a transformação linear $$T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3}$$ tal que $$T(1,0,0)=(0,0,1)$$, $$T(1,0,1)=(1,1,1)$$ e T(0,-1,1)=(1,1,0)$$. Solução: https://youtu.be/BDqCcmEO56A
Sejam u e v ∈ $$V=\mathbb{R}^{2}$$ tais que β = { u, v } é uma base para $$\mathbb{R}^{2}$$. Considere uma transformação linear $$T :...
Mostre que a aplicação a seguir é linear: $$F:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}$$, definida por $$F(x,y) = (ax+by cx+dy)$$, com $$a,b,c$$ e $$d$$ sendo constantes reais. Solução: Sempre...
Mostre que a aplicação a seguir é linear: $$F:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}$$, definida por $$F(x,y,z) = (x+2y-3z , 4x-5y+6z)$$. Solução: Sempre verificamos se $$F(v+v’) = F(v) +...
Seja $$v$$ um vetor não-nulo de um espaço vetorial $$E$$, de dimensão finita. Dado qualquer espaço vetorial $$F\neq\{0\}$$, mostre que existe uma transformação linear $$A:E\longrightarrow...
Seja $$X: V\longrightarrow W$$ uma transformação linear tal que $$Xv\neq 0$$, para todo $$v\neq 0$$ em $$V$$. Prove que, se $$A,B\in\mathcal{L}(V;W)$$ cumprem $$XA=XB$$, então $$A=B$$....
No espaço vetorial $$\mathcal{P}$$ dos polinômios, considere os operadores lineares $$D,A:\mathcal{P}\longrightarrow\mathcal {P}$$ de derivação ($$D(p(x))=p'(x)$$) e multiplicação por $$x$$ ($$A(p(x)))=x\cdot p(x)$$), respectivamente. Determine $$DA-AD$$. Solução:...
