Base da Imagem e do Núcleo – Exercício 1
Seja $$𝑭:𝑹^{𝟒}→𝑹^{𝟑}$$ a transformação linear definida por 𝑭(𝒙,𝒚,𝒛,𝒕)=(𝒙−𝒚+𝒛+𝒕, 𝒙+𝟐𝒛−𝒕, 𝒙+𝒚+𝟑𝒛−𝟑𝒕) Encontre uma base e a dimensão (a) da imagem de F, (b) do núcleo de...
transformações lineares
Aleatório
Transformações Lineares (exercício 7)
Se os vetores $$v_{1},…,v_{m}\in E$$ geram um subespaço vetorial de dimensão $$r$$, prove que o conjunto dos vetores $$(\alpha_{1},…,\alpha_{m})\in\mathbb{R}^{m}$$ tais que $$\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{m}v_{m}=0$$ é um subespaço...
Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercícios)
Questão Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove: i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow...
Transformações Lineares – Exercício 15
Seja $$v$$ um vetor não-nulo de um espaço vetorial $$E$$, de dimensão finita. Dado qualquer espaço vetorial $$F\neq\{0\}$$, mostre que existe uma transformação linear $$A:E\longrightarrow...
Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 3)
Seja $$C(A)$$ o conjunto dos operadores lineares $$X: E\longrightarrow E$$ que comutam com o operador $$A\in\mathcal{L}(E)$$, isto é, $$XA=AX$$. Prove que $$C(A)$$ é um...
Transformações Lineares – Exercício 16
Mostre que a aplicação a seguir é linear: $$F:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}$$, definida por $$F(x,y,z) = (x+2y-3z , 4x-5y+6z)$$. Solução: Sempre verificamos se $$F(v+v’) = F(v) +...
Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 8)
Seja $$\varphi$$ um operador linear, sobre o espaço vetorial $$V$$, tal que $$\varphi^{2}=I_{d}$$ (identidade). Mostre que $$V=U\oplus W$$,com $$U=\{v\in V;\varphi(v)=v\}$$, e $$W=\{v\in V;\varphi(v)=-v\}$$. Solução: $$U$$...
Transformações Lineares – Exercício 14
Seja $$X: V\longrightarrow W$$ uma transformação linear tal que $$Xv\neq 0$$, para todo $$v\neq 0$$ em $$V$$. Prove que, se $$A,B\in\mathcal{L}(V;W)$$ cumprem $$XA=XB$$, então $$A=B$$....
Álgebra Linear – Isomorfismo da Soma Direta Interna e Externa
Definição Dados os subespaços vetorias $$V_{i}$$ de um espaço $$V$$, define-se $$V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus …\oplus V_{n}$$ como a soma direta interna, se, e somente se, todo...
Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 10)
Considere a transformação linear $$T :R^{3}⟶ R^{2}$$ dada por: $$T(x, y, z) = ( x – y – z , 2z – x )$$ ....
Transformações Lineares – Exercícios Resolvidos
Lista de exercícios resolvidos sobre Aplicações Lineares: definição, exercícios práticos, exercícios teóricos, produto (composição) de transformações lineares, operadores lineares, Teorema do Núcleo e da Imagem,...
Transformações Lineares – Exercício 19
Determine a transformação linear $$T:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{3}$$ tal que $$T(1,0,0)=(0,0,1)$$, $$T(1,0,1)=(1,1,1)$$ e T(0,-1,1)=(1,1,0)$$. Solução: https://youtu.be/BDqCcmEO56A