• Trimestre 0 : – R$ 4000,00
• Trimestres (1 a 7): R$ 500,00
• Trimestre 8: R$ 1000,00

Determine:

a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto, no intervalo de 0,00% a 3,00% ao trimestre, com incrementos de 0,50%;

b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva trimestral de rentabilidade desse investimento.

Solução no vídeo a seguir:

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Solução:

Observe que a taxa é nominal e a capitalização é mensal, então a taxa efetiva é de $$\frac{0,2}{12} \cong$$ 1,667% ao mês.

i) Os três primeiros depósitos formam uma série uniforme de pagamentos, e seu valor presente $$(VP_{1})$$ é

\[VP_{1}=4000\cdot\frac{(1+0,01667)^{3}-1}{0,01667\cdot (1+0,01667)^{3}} = R$ 11.610,76. \]

ii) Os três últimos também formam uma série uniforme de pagamentos, então seu valor presente é

\[VP_{2}=1500\cdot \frac{(1+0,01667)^{3}-1}{0,01667\cdot (1+0,01667)^{3}}=R\$ 4354,04. \]

Como este último valor presente encontra-se a 3 meses do início da série, precisamos descontar o coeficiente $$(1+1,667%)^{3}$$, que resulta em $$VP’_{2}=\frac{VP_{2}}{(1+0,01667)^{3}}= R\$ 4143,35$$.

iii) O VPL da série completa será a soma

\[VPL = VP_{1}+VP’_{2}=15.754,12\]

No Excel, usando a fórmula VPL ou NPV:

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Calcule o VPL da série do investimento de 10 prestações, a uma taxa de juros de 1% ao mês, em que
os 6 primeiros depósitos são de R$ 1.000,00, os 4 últimos são de R$ 2.000,00 e o depósito ocorre sempre no início do mês.
Clique para ver a solução

Calcule o VPL da série do investimento de 9 prestações, a uma taxa de juros de 1% ao mês, em que as 5 primeiras são de R$ 100,00, não há pagamento no 6º mês, as 4 últimas têm o valor de R$ 100,00 e são depositados a partir do 7º mês e o depósito ocorre sempre no início do mês.
Clique para ver a solução.

Calcule o VPL da série do investimento de 6 prestações, a uma taxa de juros nominal de 20% ao ano, em que os 3 primeiros depósitos mensais são de R$ 4.000, os 3 últimos têm o valor de R$ 1500,00 e o depósito ocorre sempre no início do mês.
Clique para ver a solução.

Considere o investimento representado pelo fluxo de caixa indicado na tabela a seguir. Determine:
a) o gráfico do valor presente líquido desse fluxo de caixa, em função da taxa de desconto, no intervalo de 0,00% a 3,00% ao trimestre, com incrementos de 0,50%; b) a taxa interna de retorno do fluxo de caixa, ou seja, a taxa efetiva trimestral de rentabilidade desse investimento.
– Trimestre 0 : – R$ 4000,00
– Trimestres (1 a 7): R$ 500,00
– Trimestre 8: R$ 1000,00
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Calcule a TIR (Taxa Interna de Retorno) do seguinte fluxo de caixa mensal:

• Parcela 0: VP = – R$ 55.000,00 (depósito);
• Parcela 1: R$ 5.000 (retirada);
• Parcela 2: R$ 5.000 (retirada);
• Parcela 3: R$ 6.000 (retirada);
• Parcela 4: R$ 6.000 (retirada);
• Parcela 5: R$ 6.000 (retirada);
• Parcela 6: R$ 10.000 (retirada);
• Parcela 7: R$ 10.000 (retirada);
• Parcela 8: R$ 10.000 (retirada);

Clique para ver a solução.

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Solução:

i) Calcularemos o $$VP_{1}$$, o valor presente da série uniforme dos 5 primeiros meses, por meio da fórmula:

\[VP_{1}=100\cdot\frac{(1+0,01)^{5}-1}{0,01\cdot (1+0,01)^{5}}= R\$ 485,34.\]

ii) Calcularemos o $$VP_{2}$$, o valor presente da série uniforme dos 4 últimos meses, usando a mesma fórmula:

\[VP_{2}=100\cdot\frac{(1+0,01)^{4}-1}{0,01\cdot (1+0,01)^{4}}= R\$ 390,20.\]

iii) O $$VP_{2}$$ é o valor presente no fim do mês 6, então precisamos calcular seu correspondente no início do fluxo de caixa (6 meses antes), logo teremos $$VP’_{2}\frac{VP_{2}}{(1+0,01)^{6}} = R\$ 367,58$$.

Finalmente, obtemos o $$VPL = VP_{1} + VP’_{2} = R\$ 852,93$$.

Comentário: O Valor Presente líquido calculado evidencia que o fluxo de caixa em questão equivale a ter, no início dos 10 meses, um total de R$ 852,93 em mãos.

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Solução no vídeo a seguir:

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Definição: Uma série de pagamentos (ou anuidades) são as operações financeiras, em um determinado período, sobre algum investimento ou dívida — os depósitos ou retiradas naquele caixa. O fluxo destas operações é chamado de fluxo de caixa e é representado por uma linha no tempo, com as respectivas retiradas e inserções de capital naquele caixa.

Em geral, estas séries estão sujeitas a uma taxa de juros específica e fixa, mas pode haver variação na taxa, de acordo com a série.

Valor Presente Líquido (VPL)

• $$P_{s}=$$ depósito ou retirada no instante $$t_{s}$$,
• $$i =$$ taxa de juros,
• $$n =$$ número de ciclos do fluxo de caixa,
• $$VP =$$ valor presente (valor atual) do fluxo de caixa (pode ser nulo).

Cada parcela $$P_{s}$$ está sujeita a uma correção de juros compostos, ao longo do tempo. O Valor Presente ($$VP_{s}$$) ,relativo àquela parcela, será a retroação da parcela no tempo, isto é, o cálculo do valor da parcela (que será paga daqui a $$t_{s}$$ períodos, contados a partir do início do fluxo de caixa) no início do período de pagamentos ou retiradas.

\[VP_{i}=\frac{P_{s}}{(1+i)^{t_{s}}}\]

Note que a sequência dos instante $$t_{s}$$ não requer uniformidade, ou seja, pode-se ter, como exemplo, $$t_{s} = 15$$ dias, $$t_{s}=25$$.

O Valor Presente Líquido (VPL) é o somatório dos valores presentes de todas as operações realizadas no fluxo de caixa e equivale ao valor atual daquele fluxo de caixa. Se ocorrer um financiamento, por exemplo, o VPL representa o custo atual do financiamento. Sendo assim, temos uma ferramenta muito poderosa para compararmos fluxos de caixa.

\[\sum^{n}_{s=1} VP_{s}=VP+\frac{P_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}+…\frac{P_{1}}{(1+i)^{t_{n}}}\]

Exemplo 1

Calcule o VPL das séries de capitais a seguir. Note que as retiradas e depósitos possuem sinais distintos. Taxa de 3,87% a.m.

Solução:

Exemplo 2

Uma pessoa quer comprar um terreno que tem o seguinte plano de pagamento a prazo:

• entrada de R$ 5.000,00;
• mais 4 pagamentos mensais de R$ 2.500,00.

Se a pessoa pode aplicar seus recursos à taxa de 2,5% a.m., qual o valor à vista equivalente ao plano de pagamento a prazo?

Solução: (em texto)

Calculando o VPL, teremos o valor atual daquele fluxo de caixa, isto é, teremos, hoje, o valor daquele fluxo de caixa. As prestações vencerão ao final de cada mês, iniciando-se pelo primeiro.

$$VP = R\$ 5000,00$$, pois $$t_{0}=0$$.

$$VP_{i} = \frac{2500}{(1+2,5%)^{i}}$$, pois $$t_{i} = i$$ (mês).

\[VPL=5000+\frac{2500}{(1+2,5%)}+\frac{2500}{(1+2,5%)^{2}}+\frac{2500}{(1+2,5%)^{3}}+\frac{2500}{(1+2,5%)^{4}}= R\$ 14.404,94\].

Solução: (no Excel)

Exemplo 3

Uma televisão de 29 polegadas é vendida por R$ 1.660,00 à vista ou a
prazo com o seguinte plano de pagamento:

• 20% de entrada.
• Mais duas parcelas mensais e consecutivas, vencendo a primeira 3 meses após a compra e sendo o valor da segunda a metade da primeira.

Qual o valor de cada prestação, sabendo que a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% a.m.?

Solução:

Calculamos o VPL em função das parcelas — aqui, denotadas por $$x$$—, a fim de igualarmos esta expressão ao valor do produto à vista.

$$P_{1}=20%\cdot 1.660,00 = R\$ 332,00=VP_{1}$$, pois $$t_{1}=0$$.

$$VP_{2}=\frac{x}{(1+2%)^{3}}$$, pois $$t_{2}=3$$ meses.

$$VP_{3}=\frac{x/2}{(1+2%)^{4}}$$, pois $$t_{3}=4$$ meses.

\[VPL= 332+\frac{x}{(1+2%)^{3}}+\frac{x/2}{(1+2%)^{4}}\]

Devemos igualar o VPL ao valor à vista da televisão. A explicação para isso é a seguinte: a loja quer lucrar o valor integral da televisão. Quando há financiamento, a loja recebe apenas parte do valor, em prestações, e não recebe o dinheiro no tempo devido, por isso, os juros corrigem esta diferença no tempo. Deste modo, o valor da televisão (margem de lucro da loja) é idêntico ao VPL.

Basta resolvermos a equação:

\[1660,00-VPL=0\Longrightarrow 1600,00 -332-\frac{x}{(1+2%)^{3}}-\frac{x/2}{(1+2%)^{4}} =0\].

Para resolver a equação em $$x$$, recomenda-se o uso de calculadoras ou softwares.

O valor é $$x= R\$ 190,95$$.

Referências:

[1] – Dutra, M. J – Matemática Financeira, modalidade EAD – Unisul

[2] – Vendite, L.L – Matemática Financeira (ver. 2010)

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