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Vetores – Exercício 1

Plenus — Mon, 24 Apr 2023 20:17:41 +0000

Encontre um vetor u que seja ortogonal aos vetores (2, 3, −1) e (2, −4, 6) e que tenha ||u|| = 3√3.

Solução:
O vetor u = (x,y,z) deve ser ortogonal aos dois vetores apresentados, isto é:

$$\langle (x,y,z) ; (2,3,-1)\rangle=0$$, então 2x+3y-z = 0; e
$$\langle (x,y,z) ; (2,-4,6)\rangle=0$$, então 2x-4y+6z=0.

Somando a primeira equação à segunda multiplicada por (-1), teremos $$2x+3y-z – 2x+4y-6z = 0$$, que resulta em $$7y-7z=0$$, ou $$y=z$$. Retornando à primeira equação, obtemos $$2x+3y-y=0$$, ou, euivalentemente, $$x = -y$$.

Daqui, concluímos que o vetor é $$u=(-y,y,y)$$.

A sua norma euclidiana é $$27 = (3\sqrt{3})^{2}=||u||^{2}=(-y)^{2}+y^{2}+y^{2}= 3y^{2}$$.

Temos a equação $$3y^{2}=27$$, então $$y^{2}=9$$. Há duas possibilidades: $$u=(-3,3,3)$$ ou $$(3,-3,-3)$$.

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Exercícios Resolvidos de Vetores

Guimarães — Fri, 25 Feb 2022 16:29:35 +0000

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Questão

(Unesp) Um caminhoneiro efetuou duas entregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerário indicado pelos vetores deslocamentos d₁ e d₂ ilustrados na figura.

Para a primeira entrega, ele deslocou-se 10 km e para a segunda entrega, percorreu uma distância de 6 km. Ao final da segunda entrega, a distância a que o caminhoneiro se encontra do ponto de partida é

a) 4 km.
b) 8 km.
c) $$2\sqrt{19}$$ km.
d) $$8\sqrt{3}$$ km.
e) 16 km.

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Questão

(Unifesp) Na figura, são dados os vetores $$\vec{a}$$, $$\vec{\omega}$$ e $$\vec{v}$$.

Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor $$\vec{g} = \vec{a} – \vec{\omega} + \vec{v}$$ tem módulo

a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a direita.
d) ($$\sqrt{2}$$)u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário.
e) ($$\sqrt{2}$$)u, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário.

Solução (clique aqui)

Questão

(Uerj) Pardal é a denominação popular do dispositivo óptico-eletrônico utilizado para fotografar veículos que superam um determinado limite estabelecido de velocidade V. Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal é colocado formando um ângulo θ com a direção da velocidade do carro, como indica a figura abaixo.

Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrar velocidades superiores a V, quando o ângulo θ = 0º. A velocidade v’ do veículo, que acarretará o registro da infração pelo pardal, com relação à velocidade padrão V, será de:

a) V senθ
b) V cosθ
c) $$\frac{V}{sen\theta}$$
d)$$\frac{V}{cos\theta}$$

Solução (clique aqui)

Questão

(UPE) A figura a seguir mostra o vetor $$\vec{v}$$ representado no plano cartesiano.

A representação e o módulo desse vetor são, respectivamente,

a) $$\vec{v} = (5,1)$$ e $$|\vec{v}| = 3$$
b) $$\vec{v} = (3,0)$$ e $$|\vec{v}| = 3$$
c) $$\vec{v} = (-3,-4)$$ e $$|\vec{v}| = 4$$
d) $$\vec{v} = (-3,-4)$$ e $$|\vec{v}| = 5$$
e) $$\vec{v} = (-1,-4)$$ e $$|\vec{v}| = 5$$

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Questão

(Vunesp) São conjuntos de grandezas escalares e vetoriais, respectivamente:

a) (pressão, força, aceleração) e (tempo, densidade, temperatura).
b) (carga elétrica, temperatura, massa) e (empuxo, velocidade, aceleração).
c) (deslocamento, volume, massa) e (campo magnético, campo elétrico, campo gravitacional).
d) (massa, tempo, energia) e (peso, pressão, carga elétrica).
e) (densidade, volume, massa) e (empuxo, força, trabalho).

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Questão

(UFC – CE) A figura abaixo mostra o mapa de uma cidade em que as ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente, e cada quarteirão mede 100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua escola, situada na esquina C. A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua casa e a escola são, respectivamente:

a) 1.800 m e 1.400 m.
b) 1.600 m e 1.200 m.
c) 1.400 m e 1.000 m.
d) 1.200 m e 800 m.
e) 1.000 m e 600 m.

Solução (clique aqui)

Questão

(Fatec – SP) Dados os vetores A, B e C, apresentados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6

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Questão

(Vunesp) Um paciente é submetido a uma tração conforme indicada na figura, onde as roldanas P e R e o ponto de apoio Q no queixo estão no mesmo plano horizontal. Nessas condições, pode-se afirmar que a intensidade da força resultante, aplicada no queixo do paciente, vale aproximadamente:

a) 12 kgf
b) 22 kgf
c) 32 kgf
d) 42 kgf
e) 52 kgf

Solução (clique aqui)

Questão

Algumas pessoas perigosamente atravessam ruas ou avenidas fora da faixa de pedestres. Quanto tempo será gasto por um indivíduo ao atravessar uma avenida de largura 10 m com velocidade de módulo 4,0 m/s em uma direção que faz um ângulo de 60° com a faixa, conforme figura abaixo?

Solução (clique aqui)

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Vetores – Questão 5

Guimarães — Mon, 31 May 2021 17:27:06 +0000

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Solução:

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Vetores – Questão 4

Guimarães — Mon, 31 May 2021 17:25:57 +0000

(Vunesp) Um paciente é submetido a uma tração conforme indicada na figura, onde as roldanas P e R e o ponto de apoio Q no queixo estão no mesmo plano horizontal. Nessas condições, pode-se afirmar que a intensidade da força resultante, aplicada no queixo do paciente, vale aproximadamente:

a) 12 kgf
b) 22 kgf
c) 32 kgf
d) 42 kgf
e) 52 kgf

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Solução:

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Vetores – Questão 2

Guimarães — Mon, 31 May 2021 17:23:23 +0000

(UFC – CE) A figura abaixo mostra o mapa de uma cidade em que as ruas retilíneas se cruzam perpendicularmente, e cada quarteirão mede 100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até a casa de sua avó, na esquina B. Dali segue até sua escola, situada na esquina C. A menor distância que você caminha e a distância em linha reta entre sua casa e a escola são, respectivamente:

a) 1.800 m e 1.400 m.
b) 1.600 m e 1.200 m.
c) 1.400 m e 1.000 m.
d) 1.200 m e 800 m.
e) 1.000 m e 600 m.

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Solução:

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Vetores – Questão 1

Guimarães — Mon, 31 May 2021 17:22:08 +0000

(Vunesp) São conjuntos de grandezas escalares e vetoriais, respectivamente:

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Solução:

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Vetores – Exercício 4

Guimarães — Wed, 19 May 2021 22:33:02 +0000

(UPE) A figura a seguir mostra o vetor $$\vec{v}$$ representado no plano cartesiano.

A representação e o módulo desse vetor são, respectivamente,

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Solução:

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Vetores – Exercício 3

Guimarães — Wed, 19 May 2021 21:54:32 +0000

(Uerj) Pardal é a denominação popular do dispositivo óptico-eletrônico utilizado para fotografar veículos que superam um determinado limite estabelecido de velocidade V. Em um trecho retilíneo de uma estrada, um pardal é colocado formando um ângulo θ com a direção da velocidade do carro, como indica a figura abaixo.

a) V senθ
b) V cosθ
c) $$\frac{V}{sen\theta}$$
d)$$\frac{V}{cos\theta}$$

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Solução:

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Vetores – Exercício 2

Guimarães — Mon, 17 May 2021 23:46:24 +0000

(Unifesp) Na figura, são dados os vetores $$\vec{a}$$, $$\vec{\omega}$$ e $$\vec{v}$$.

Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor $$\vec{g} = \vec{a} – \vec{\omega} + \vec{v}$$ tem módulo

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Solução:

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Vetores

Guimarães — Mon, 17 May 2021 23:27:48 +0000

Grandezas vetoriais

– Grandezas que possuem módulo, direção e sentido
– Exemplos: velocidade, aceleração, deslocamento, força, campo

Vetor

– Representado por uma flecha e designado por uma letra com uma sete em cima

– Sentido: orientação da flecha
– Direção: ângulo entre a flecha e o eixo horizontal
– Módulo: comprimento da flecha

Características

– Vetores de mesmo sentido: possuem a mesma direção e o mesmo sentido, não necessariamente o mesmo módulo
– Vetores paralelos: possuem a mesma direção, não necessariamente o mesmo sentido nem o mesmo módulo
– Vetores simétricos: possuem a mesma direção e o mesmo módulos, porém são de sentidos opostos
– Vetores iguais: possuem módulo, direção e sentido iguais

Operações com vetores

– Soma e subtração pela regra do polígono
– Soma e subtração pela regra do paralelogramo

– Multiplicação e divisão por escalar

Se temos um vetor $$\vec{b} = k\vec{a}$$ e um vetor $$\vec{c} = \frac{\vec{a}}{k}$$

Os módulos serão: $$|\vec{b}| = |k||\vec{a}|$$ e $$|\vec{c}| = \frac{|\vec{a}|}{|k|}$$
A direção tanto de $$\vec{b}$$ quanto de $$\vec{c}$$ serão a mesma de $$\vec{a}$$
O sentido depende do escalar:
- se k>0, tanto $$\vec{b}$$ quanto $$\vec{c}$$ terão o mesmo sentido de $$\vec{a}$$
- se k<0, tanto $$\vec{b}$$ quanto $$\vec{c}$$ terão sentido oposto ao $$\vec{a}$$

Decomposição de vetores

– Projeção do vetor em cada um dos eixos cartesianos xy
– Um vetor $$\vec{a}$$ pode ser decomposto em suas componentes $$\vec{a}_{x}$$ e $$\vec{a}_{y}$$ tal que $$\vec{a} = \vec{a}_{x} + \vec{a}_{y}$$

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