Cilindros e Esferas

• (ENEM) Um povoado com 100 habitantes está passando por uma situação de seca prolongada, e os responsáveis pela administração pública local decidem contratar a construção de um reservatório. Ele deverá ter a forma de um cilindro, cuja base tenha 5m de diâmetro interno, e atender à demanda de água da população por um período de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia, o reservatório vazio é completamente reabastecido por carros-pipa. Considere que o consumo médio diário por habitante é de 120 litros de água. Use 3 como aproximação para π. Nas condições apresentadas, o reservatório deverá ser construído com uma altura interna mínima, em metro, igual a
a) 1,12 | b) 3,10 | c) 4,35 | d) 4,48 | e) 5,60
Gabarito: d)
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• (EsPCEx) Um cubo com área total de 96 cm² está circunscrito a uma esfera. O volume dessa esfera é igual a: [A] (256/3) π cm³ | [B] 16π cm³ | [C] (64/3)π cm³  | [D] (32/3) π cm³  | [E] (16/3)π cm³
Gabarito: d)
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• (UNICAMP) Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.

Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a
a) 2R. | b) R. | c) R/3. | d) 2R/3.
Gabarito: c)
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• (Mackenzie) Em um recipiente cilíndrico de raio 6 cm e altura 9 cm, completamente cheio de água, foi colocada uma esfera metálica. Assim, observou-se que a esfera ficou totalmente submersa na água, transbordando 36 π cm³ de água. Então, o raio da esfera, em cm, mede
a) 2 | b) 3 | c) 4 | d) 5 | e) 6
Gabarito: b)
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• (UNICAMP) No início do expediente do dia 16 de março de 2020, uma farmácia colocou à disposição dos clientes um frasco cilíndrico de 500 ml (500 𝑐𝑚³) de álcool em gel para higienização das mãos. No final do expediente, a coluna de álcool havia baixado 5 cm. Sabendo que a base do cilindro tem diâmetro de 6 cm e admitindo o mesmo consumo de álcool em gel nos dias seguintes, calcula-se que o frasco ficou vazio no dia
a) 17 de março. | b) 18 de março. | c) 19 de março. | d) 20 de março.
Gabarito: c)
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• (ENEM) Muitos restaurantes servem refrigerantes em copos contendo limão e gelo. Suponha um copo de formato cilíndrico, com as seguintes medidas: diâmetro = 6 cm e altura = 15 cm. Nesse copo, há três cubos de gelo, cujas arestas medem 2 cm cada, e duas rodelas cilíndricas de limão, com 4 cm de diâmetro e 0,5 cm de espessura cada. Considere que, ao colocar o refrigerante no copo, os cubos de gelo e os limões ficarão totalmente imersos. (Use 3 como aproximação para π). O volume máximo de refrigerante, em centímetro cúbico, que cabe nesse copo contendo as rodelas de limão e os cubos de gelo com suas dimensões inalteradas, é igual a
a)107. | b)234. | c)369. | d)391. | e) 405.
Gabarito: c)
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Cones

• (ITA) A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 10 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno de um eixo que contém a hipotenusa é 30π cm³. O perímetro desse triângulo é, em cm, igual a
A) 10 + 4√7. | B) 10 + 5√7. | C) 10 + 2√10. | D) 10 + 3√10. | E) 10 + 4√10.
Gabarito: e)
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Pirâmides

• (UERJ) Um recipiente com a forma de uma pirâmide de base quadrada foi completamente preenchido com um líquido. Sua aresta da base mede 4 cm e a altura, 9 cm. Em seguida, todo esse líquido foi transferido para outro recipiente, com a forma de um prisma reto, sendo sua base um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4 cm. Observe as imagens:

Considere que as espessuras dos recipientes são desprezíveis e que as bases estão em planos horizontais, sendo as alturas definidas em relação às bases. A altura h, em centímetros, que o líquido atingirá no segundo recipiente é:
(A) 10 | (B) 8 | (C) 6 | (D) 4
Gabarito: c)
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Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a

a) 2R.
b) R.
c) R/3.
d) 2R/3.

Gabarito: c)
Solução no vídeo a seguir:

O post UNICAMP 2023 – 1ª Fase – Q.50 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Gabarito: d)
Solução no vídeo a seguir:

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Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.

Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?

a) 800
b)1 200
c) 2 400
d)4 800
e) 6 400

Solução no vídeo abaixo.
Gabarito: d)

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São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam entre 1 e 100 nanômetros (nm), sendo que 1 nm equivale a $$10^{–9}$$ m, ou seja, um bilionésimo de metro.

Uma das características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu volume e sua área superficial total.

Por exemplo, em uma esfera maciça de 1 cm de raio, a área superficial e o volume valem 4π cm² e (4/3)π cm³, respectivamente. O conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma de suas áreas superficiais

(A) 10 vezes maior que a da esfera.
(B) 10³ vezes maior que a da esfera.
(C) $$10^{5}$$ vezes maior que a da esfera.
(D) $$10^{7}$$ vezes maior que a da esfera.
(E) $$10^{9}$$ vezes maior que a da esfera.

Solução:

Da geometria espacial, sabemos que o volume de uma esfera é  $$V=(4/3)\pi\cdot r^{3}$$ e sua área é dada por $$4\pi\cdot r^{2}$$, em que $$r$$ é o raio da respectiva esfera.

O conjunto em questão possui n esferas com $$r=10^{-9}m$$, então cada esfera tem volume $$V=(4/3)\pi\cdot (10^{-9})^{3}=(4/3)\pi\cdot 10^{-27}$$ m³. Seja $$n$$ o número de esferas do conjunto; a fim de que o conjunto tenha volume idêntico à da esfera do enunciado, temos a igualdade

\[n\cdot (4/3)\pi\ 10^{-27}\text{m}^{3}=(4/3)\pi \text{cm}^{3}=(4/2)\pi (10^{-2})^{3}\Longrightarrow\]

\[n\cdot (4/3)\pi\ 10^{-27}\text{m}^{3}=(4/3)\pi 10^{-3}\text{m}^{3}\Longrightarrow\]

\[n = 10^{-6}/10^{-27}=10^{21}.\]

A área da esfera de 1 cm de raio é dada por $$4\pi\text{cm}^{2}=4\pi\cdot (10^{-2})^{2}\text{m}^{2}$$, logo sua área será de $$4\pi 10^{-4}\text{m}^{2}$$.

A área total da superfície do conjunto de nanoesferas é dada por 

\[10^{21}4\pi\cdot (10^{-9})^{2}=\]

\[10^{21}10^{-18}4\pi\cdot m^{2}= 4\pi 10^{3}\text{m}^{2}. \]

Comparando os dois valores, temos

\[\frac{4\pi 10^{3}}{4\pi 10^{-4}}=10^{7}.\]

Isso significa que o conjunto de nanoesferas tem uma área $$10^{7}$$ vezes maior que a esfera de 1 cm.

Resposta: d)

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Questão

Em um recipiente cilíndrico de raio 6 cm e altura 9 cm, completamente cheio de água, foi colocada uma esfera metálica. Assim, observou-se que a esfera ficou totalmente submersa na água, transbordando 36 π cm³ de água. Então, o raio da esfera, em cm, mede

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Solução:

Próximas Questões

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