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Solução no vídeo abaixo:

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Resposta: 5/3

Passo a Passo:

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Resposta: 0,9/100π
Solução (no vídeo abaixo):

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Seja uma função $$f:X\to\mathbb{R}$$, em que $$X$$ é um subconjunto dos reais. Um ponto $$a$$ é um ponto de acumulação à direita de $$X$$ se, e somente se, $$X\cap (a,a+\epsilon)\neq\emptyset$$, para qualquer $$\epsilon>0$$. Usamos a notação $$a\in X’_{+}$$, para indicar essa condição de $$a$$.

$$L$$ é o limite lateral à direita de $$f(x)$$ quando $$x\to a$$ se, e somente se, dado $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que , $$a<x<a+\delta$$ implica $$|f(x)-L|<\epsilon$$. Escrevemos $$lim_{x\to a^{+}} f(x) = L$$.

Analogamente, pode-se definir o limite à esquerda, se $$a-\delta<x<a$$ implica $$|f(x)-L|<\epsilon$$. Escrevemos, neste caso, $$lim_{x\to a^{-}} f(x) = L$$.

Exemplo
Seja

f(x) =\left{\begin{array}{ll} 1-x^{2},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\2, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right. $$

e calcule, se existirem, $$\lim_{x\to 1^{+}}f(x), \lim_{x\to 1^{-}}f(x)$$ e $$\lim_{x\to 1}f(x)$$.

$$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=0$$.

$$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=1$$.

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Solução:

Adotamos a mudança de variável $$u(x)=\pi\cdot x$$, de modo a obtermos $$x = \frac{u}{\pi}$$. Observamos que $$u\to 0 \Longleftrightarrow x\to 0$$.

Reescrevemos a fração com a nova variável $$u$$, de modo a obtermos

\[\frac{tg(u)}{2\frac{u}{\pi}}=\frac{\pi}{2}\frac{tg(u)}{u}.\]

Sabemos que $$lim_{u\to 0}\frac{tg(u)}{u} = 1$$. Então, pelo teorema da mudança de variável, teremos

\[lim_{x\to 0}\frac{tg(\pi\cdot x)}{2x}=\frac{\pi}{2}\cdot lim_{u\to 0}\frac{tg(u)}{u} = \frac{\pi}{2}.\]

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Solução:

Por hipótese do limite da $$f$$, dado $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que, se $$|x-p|<\delta$$, então $$|f(x)-a|<\epsilon$$. Por hipótese da continuidade da $$g$$, para qualquer $$\lambda>0$$, existe $$\gamma>0$$ tal que, se $$|y-a|<\gamma$$, então $$|g(y)-g(a)|<\lambda$$.

Como a primeira sentença é válida para todo ε>0, valerá, em particular, para $$\epsilon = \gamma$$, sendo γ>0 um número que existe em função de λ>0. Pela concatenação lógica das duas sentenças, e observando que $$y$$ pode ser igual a $$f(x)$$, teremos que:

dado λ>0, existem γ,δ>0 tais que:

• se $$|x-p|<\delta$$, então $$|f(x)-a|<\gamma$$;
• se $$|f(x)-a|<\gamma$$, então $$|g(f(x))-g(a)|<\lambda$$;
• portanto, se $$|x-p|<\delta$$, temos $$|g(f(x))-g(a)|<\lambda$$.

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