Limites Laterais

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Definição precisa de limite lateral, exemplos e exercícios resolvidos. Questões comentadas e solucionadas.

◻️Seja uma função $$f:X\to\mathbb{R}$$, em que $$X$$ é um subconjunto dos reais. Um ponto $$a$$ é um ponto de acumulação à direita de $$X$$ se, e somente se, $$X\cap (a,a+\epsilon)\neq\emptyset$$, para qualquer $$\epsilon>0$$. Usamos a notação $$a\in X’_{+}$$, para indicar essa condição de $$a$$.

◻️$$L$$ é o limite lateral à direita de $$f(x)$$ quando $$x\to a$$ se, e somente se, dado $$\epsilon>0$$, existe $$\delta>0$$ tal que , $$a<x<a+\delta$$ implica $$|f(x)-L|<\epsilon$$. Escrevemos $$lim_{x\to a^{+}} f(x) = L$$.

◻️Analogamente, pode-se definir o limite à esquerda, se $$a-\delta<x<a$$ implica $$|f(x)-L|<\epsilon$$. Escrevemos, neste caso, $$lim_{x\to a^{-}} f(x) = L$$.

✍️Exemplo
Seja

f(x) =\left{\begin{array}{ll} 1-x^{2},&\mbox{se}\quad x\neq 1,\\2, &\mbox{se}\quad x=1. \end{array}\right. $$

e calcule, se existirem, $$\lim_{x\to 1^{+}}f(x), \lim_{x\to 1^{-}}f(x)$$ e $$\lim_{x\to 1}f(x)$$.

$$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=0$$.

$$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(1-x^{2})=\lim_{x\to 1}(1-x^{2})=1$$.


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