Exemplos

• 0,3333…
• 24,242424…
• 0,00111….

Método para Calcular a Fração Geratriz

• Etapa 1: Iguale a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo, o $$x$$.
  Exemplo: $$x=0,333…$$
• Etapa 2: Multiplique os dois lados da igualdade, a dízima e a incógnita, por alguma potência de 10, isto é: por 10, 100, 1000, etc. A escolha de qual número devemos usar depende do número de casas decimais que aparecem antes do início do período da dízima.
  Exemplo: $$10x = 3,333…$$
• Etapa 3: Faça a subtração da equação multiplicada pela potência de 10 pela equação original. A subtração eliminará a dízima periódica da equação, de modo a sobrarem apenas números inteiros e a incógnita.
  Exemplo: $$10x – x = 3,333… – 0,333 = 3$$. Logo $$9x = 3$$
  
• Etapa 4: Resolva a equação do primeiro grau.
  Exemplo: Se $$9x = 3$$, então $$x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$.

Exercício: Calcule a fração geratriz de 0,2666…
Solução (clique aqui).

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Os seres hiperinteligentes não ficaram contentes com a resposta. Não fazia sentido para eles. Suponha que tais seres decidiram fazer um teste com o Pensador Profundo para saber se ele ainda estava funcionando perfeitamente. Então os seres fizeram a seguinte pergunta ao computador: 0,999… é igual a 1?

Como o Pensador Profundo estava funcionando corretamente, uma possível justificativa para a pergunta poderia ser expressa como:

a) — Oh, seres hiperinteligentes, a resposta é definitivamente sim. Ao encontrar uma fração geratriz da dízima periódica 0,999… constatei que tal fração é igual a 1.

b) — Oh, seres hiperinteligentes, a resposta é definitivamente sim. Ao comparar os dois numerais cheguei à conclusão de que os algarismos são iguais entre si e por
isso a igualdade é satisfeita.

c) — Oh, seres hiperinteligentes, a resposta é definitivamente não. Ao comparar os dois numerais cheguei à conclusão de que os algarismos são diferentes entre si e por isso
a igualdade não é satisfeita.

d) — Oh, seres hiperinteligentes, a resposta é definitivamente não. Ao encontrar uma fração geratriz da dízima periódica 0,999… constatei que tal fração é menor do que 1.

Solução:

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