Solução:

Para $$m=char(A)$$, tem-se que $$m$$ é o menor inteiro não nulo para o qual se tem $$m1_{A} = 0$$. Suponha que existam os inteiros $$a$$ e $$b$$ tais que $$m=ab$$, de modo que $$a,b\leq m$$.

Sabendo que $$0=m1_{A}=(ab)1_{A}=a1_{A}\cdot b1_{A}$$, tem-se duas opções: ou $$a1_{A}=0$$, ou $$b1_{A}=0$$. Supondo o primeiro caso igual a zero, teríamos: ou $$a=0$$, ou $$a=m$$, uma vez que o menor inteiro que anula a equação $$a1_{A}$$ deve ser $$m$$ e uma vez que $$m\geq a$$. Consequentemente, ou $$a=m$$ e $$b=1$$, ou, no outro cenário, $$a=0$$ e $$m=0$$.

Analogamente, utiliza-se o mesmo raciocínio para o caso em que $$b1_{A}=0$$. Desse modo, ou $$m=0$$, ou a única decomposição possível para $$m$$ é em produtos de $$m$$ e $$1$$.

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Seja $$n$$ um inteiro positivo que não é primo. Mostre que o anel $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$$ não é um domínio.

Solução: 

Podemos escolher $$a,b\in\mathbb{Z}$$, distintos e positivos, de modo que $$a\cdot b = n$$, uma vez que $$n$$ não é um número primo (pela teorema de decomposição em números primos, no mínimo, $$n=p\cdot p$$, com $$p$$ primo). Realizando o produto das classes de equivalência, notamos o que vem a seguir:

\[\bar{a}\cdot\bar{b}=\overline{a\cdot b}=\bar{n}\].

Por definição, $$\bar{n}=n\mathbb{Z}=\bar{0}$$, ou seja, este é o elemento neutro aditivo, resultado de um produto de dois elementos distintos do referido elemento. Portanto este conjunto não é um domínio de integridade.

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