Álgebra
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Anéis – Exercício 1

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Prove que todo domínio de integridade finito $$A$$ possui característica nula ou característica igual a um número primo.

Solução:

Para $$m=char(A)$$, tem-se que $$m$$ é o menor inteiro não nulo para o qual se tem $$m1_{A} = 0$$. Suponha que existam os inteiros $$a$$ e $$b$$ tais que $$m=ab$$, de modo que $$a,b\leq m$$.

Sabendo que $$0=m1_{A}=(ab)1_{A}=a1_{A}\cdot b1_{A}$$, tem-se duas opções: ou $$a1_{A}=0$$, ou $$b1_{A}=0$$. Supondo o primeiro caso igual a zero, teríamos: ou $$a=0$$, ou $$a=m$$, uma vez que o menor inteiro que anula a equação $$a1_{A}$$ deve ser $$m$$ e uma vez que $$m\geq a$$. Consequentemente, ou $$a=m$$ e $$b=1$$, ou, no outro cenário, $$a=0$$ e $$m=0$$.

Analogamente, utiliza-se o mesmo raciocínio para o caso em que $$b1_{A}=0$$. Desse modo, ou $$m=0$$, ou a única decomposição possível para $$m$$ é em produtos de $$m$$ e $$1$$.

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