Exercício

Seja $$f^{*}:\mathbb{R}\longrightarrow E$$ a adjunta do funcional linear $$f: E\longrightarrow \mathbb{R}$$. Prove que $$v=f^{*}(1)$$ é vetor de $$E$$ que corresponde a $$f$$ pelo isomorfismo do teorema da representação de Riesz.

Prove ainda que $$f(f^{*}(1))=|v|^{2}$$ e $$f^{*}(f(w))=<w;v>v$$, para todo $$w\in E$$.

Solução:

Da propriedade adjunta, $$f(w)\cdot 1 = <w;f^{*}(1)>=<w;v>$$.

Pelo teorema da representação, sabemos do isomorfismo $$\xi :E\longrightarrow E^{*}$$ tal que $$\xi (v)=<w;v>$$, para todo $$w\in E$$. Agora, façamos a composição de funções:

\[(\xi\circ f^{*})(v)=\xi(f^{*}(1))=\xi(v)=<w;v>=f(w)\].

Por outro lado, $$f(f^{*}(1))=f(v)=<v;v>=|v|^{2}$$, e $$f^{*}(f(w))=f^{*}(f(w)\cdot 1)=f(w)\cdot v = <w;v>v$$.

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Seja $$A:E\longrightarrow F$$ uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno. Prove:

i) Se $$A$$ é sobrejetiva, então $$AA^{*}:F\longrightarrow F$$ é invertível, e $$A^{*}(AA^{*})^{-1}: F\longrightarrow E$$ é uma inversa à direita de $$A$$.

ii) Se $$A$$ é injetiva, então $$A^{*}A: E\longrightarrow E$$ é invertível e $$(A^{*}A)^{-1}A^{*}$$ é uma inversa à esquerda de $$A$$.

Solução:

i) Provaremos que $$AA^{*}=T$$ é injetiva, isto é, $$\mathcal{N(T)}={0_{F}}$$.

Seja $$y\in F$$ tal que $$AA^{*}y=0$$. Pela propriedade do operador adjunto, temos $$0=<AA^{*}y;z>=<A^{*}y;A^{*}z>$$. Pondo $$y=z$$, temos $$0=<A^{*}y;A^{*}y>$$, o que implica em $$A^{*}y=0$$, isto é, $$y\in \mathcal{N(A^{*})}$$.

Como $$A$$ é sobrejetiva, então $$\mathcal{Im}(A)=F$$.

Ademais, porque $$y\in \mathcal{N(A^{*})}$$ e este subespaço é ortogonal à imagem da função $$A$$, é verdade que $$<Ax,y>=0$$. Como a função é sobrejetora, podemos colocar a existência de $$x\in E$$ tal que $$Ax=y$$. Deste modo, $$<y,y>=0$$ se, e somente se, $$y=0$$. Portanto o núcleo de $$T$$ é nulo.

Para concluir: pelo teorema do Núcleo de da Imagem, $$dim(F)=dim(\mathcal{N}(T))+dim(\mathcal{Im}(T))\Longrightarrow dim(F) = dim(\mathcal{Im}(T))$$, portanto a função é sobrejetiva (lembre-se de que $$\mathcal{Im}(T)$$ é subespaço de $$F$$).

ii)

Seja $$T=A^{*}A$$, e  seja $$x\in E$$ tal que $$Tx=0$$. Pela propriedade do operador adjunto, temos $$0=<x,A^{*}Ax>=<Ax,Ax>\Longrightarrow Ax=0$$. Assim, $$x=0$$ porque $$A$$ é injetiva.

Provamos que $$\mathcal{N}(A^{*}A)=\{0\}$$. Pelo teorema do núcleo e da imagem, $$T$$ é sobrejetiva.

Para concluir a existência das inversas à direita e à esquerda, em ambos os itens, basta provar que a propriedade decorre do fato de ambas as funções serem invertíveis.

Questão

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Questão

Prove que, para todo $$X\subset\mathbb{R}$$, tem-se $$int(int(X))=int(X)$$ e conclua que $$int(X)$$ é um conjunto aberto.

Solução:

Suponha que exista $$p\in int(X)$$ tal que $$p\notin int(int(X))$$. Por hipótese, existe $$\epsilon_{0}>0$$ tal que $$V_{\epsilon_{0}}(p)\subset X$$.

Pela afirmação feita, ($$p$$ não é ponto de $$int(int(X))$$) temos a existência de $$x\in V_{\epsilon}(p)$$ de modo que $$x\notin int(X)$$, seja qual for $$\epsilon>0$$. Tomemos $$\epsilon = \epsilon_{0}/2$$. Deste modo, $$x\in V_{\epsilon_{0}/2}(p)\subset V_{\epsilon_{0}}(p)$$.

Além disso, para qualquer $$\delta>0$$, existirá $$y\notin X$$ tal que $$y\in V_{\delta}(x)$$, dado que $$x$$ não é ponto do interior de $$X$$.

\[|y-p|\leq |x-p|+|y-x|<\delta + \epsilon_{0}/2\].

Escolhendo $$\delta<\epsilon_{0}/2$$, teremos $$|y-p|<\epsilon_{0}$$, isto é, $$y\in V_{\epsilon_{0}}(p)$$, o que configura uma absurdidade, dado que $$y\notin X$$ e $$V_{\epsilon_{0}}(p)\subset X$$.

Logo $$int(X)\subset int(int(X))\Longrightarrow int(X)= int(int(X))$$.

De imediato, concluímos que $$int(X)$$ é aberto, dado que é igual ao seu interior.

Questão

Seja $$A\subset\mathbb{R}$$ um conjunto com a seguinte propriedade: “toda sequência $$(x_{n})$$ que converge para um ponto $$a\in A$$ tem seus termos $$x_{n}$$ pertencentes ao conjunto $$A$$, para $$n$$ suficientemente grande”. Prove que $$A$$ é aberto.

Solução:

Suponha a existência de $$a\in A$$ que não seja um ponto interior de $$A$$. Neste caso, tomando uma sequência de números $$\epsilon$$, para todo $$\epsilon_{k}>0$$, existirá $$x_{k}\in V_{\epsilon_{k}}(a)$$, com $$x_{k}\notin A$$.

A sequência $$(x_{n})$$ converge para $$a$$, uma vez que, dado $$\epsilon>0$$, existe $$k_{0}\in\mathbb{N}$$ tal que, para $$k>k_{0}, temos: $$|x_{k}-a|<\epsilon$$.

A sequência construída contradiz a definição do conjunto $$A$$, pois os termos $$x_{k}$$ pertence ao conjunto $$A$$> Ou seja, não podemos construir uma sequência que convirja para $$a\in A$$ e não tenha seus elementos em $$A$$, para $$n$$ suficientemente grande.

Portanto os pontos de $$A$$ são interiores, ou seja, $$A$$ é um conjunto aberto.

Questão

Propriedades dos interiores.

a) $$int(A\cap B) = int(A)\cap int(B)$$.

b) $$int (A\cup B)\supset int(A)\cup int(B)$$

Solução:

a) Seja $$x\in int(A)$$ e $$\in int(B)$$, então existem $$\epsilon_{1},\epsilon_{2}>0$$, com $$V_{\epsilon}(x)\subset A$$, e $$V_{\epsilon_{2}}(x)\subset B$$. Tomando $$\epsilon= min{\epsilon_{1},\epsilon_{2}}$$, teremos $$V_{\epsilon}(x)\subset A,B$$.

Deste modo, $$V_{\epsilon_{1}}(x)\subset A\cap B$$, logo $$x\in int(A\cap B)$$.

Por outro lado, seja $$x\in int(A\cap B)$$, então existe $$\epsilon>0$$ tal que $$V_{\epsilon}(x)\subset A\cap B$$. Logo $$V_{\epsilon}(x)\subset A,B$$, ou seja, $$x\in int(A)$$ e $$x\in int(B)$$.

b) 

Seja $$x\in int(A)$$ ou $$x\in int(B)$$. Existirão $$\epsilon_{1},\epsilon_{2}>0$$ tais que $$V_{\epsilon_{1}}\subset A$$ e $$V_{\epsilon_{2}}\subset B$$. Tomemos $$\epsilon= min{\epsilon_{1},\epsilon_{2}}$$.

Do primeiro caso, $$V_{\epsilon}\subset A \subset A\cup B$$, portanto $$x\in int(A\cup B)$$. O segundo caso é análogo.

Finalmente, em ambos os casos, o caminho é $$x\in int(A\cup B)$$.

Questão

Se $$A\subset\mathbb{R}$$ é aberto, e $$a\in A$$, então $$A-\{a\}$$ é aberto.

Solução:

Note que $$\{a\}^{C} =\mathbb{R}-\{a\}$$. O interior deste conjunto é ele próprio.

Usaremos a propriedade da questão anterior: $$int(A)=A$$, pois $$A$$ é aberto, e $$int(A-\{a\})=int(A\cap\{a\}^{C})= int(A)\cap int(\{a\}^{C})= A\cap int(\{a\}^{C})=A\cap \mathbb{R}-\{a\} = A-\{a\} $$, ou seja, o interior do conjunto é igual a ele próprio, portanto é aberto.

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Seja $$E=F_{1}\oplus F_{2}$$. Se $$\mathcal{B}_{1}$$ é uma base de $$F_{1}$$, e $$\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$F_{2}$$, prove que $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$E$$.

Solução:

Seja $$\mathcal{B}_{1}=\{w_{1},…,w_{k}\}$$, e seja $$\mathcal{B}_{2}=\{u_{1},…,u_{r}\}$$.

Da hipótese, sabemos que todo vetor $$v$$ de $$E$$ é escrito de maneira única como soma de $$w\in F_{1}$$ e $$u\in F_{2}$$. Assim, podemos escrever:

\[v=w+u=\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}\cdot w_{k}+\beta_{1}u_{1}+…+\beta_{r}u_{r}\].

Vemos que o conjunto $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é gerador de $$E$$. Além disso, este é um conjunto linearmente independente, dado que $$F_{1}\cap F_{2}=\{0_{E}\}$$.

Com efeito, suponha que exista uma combinação linear não nula (coeficientes nulos) para

\[\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}w_{k}+\beta_{1}u_{1}+…+\beta_{r}u_{r}=0\].

Rearranjando a equação, obtemos:

\[\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}w_{k}=-\beta_{1}u_{1}-…-\beta_{r}u_{r}=v\].

Como os vetores $$w_{i}$$ e $$u_{j}$$ são linearmente independentes em seus conjuntos, é obrigatório que os coeficientes sejam nulos, a fim de que $$v= 0_{E}$$. Neste caso, temos $$v\neq 0_{E}$$, isto é, existe $$v\in F_{1}\cap F_{2}$$, o que contraria a hipótese da soma direta. Portanto os coeficientes são da forma $$\alpha_{i}=\beta_{j}=0$$, isto é, o conjunto união é linearmente independente.

Referências

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Operações de Conjuntos

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a união é traduzida da seguinte maneira: \[A\cup B =\{x;x\in A\;ou\; x\in B\}\].

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a intersecção é traduzida da seguinte maneira: \[A\cap B =\{x;x\in A\;e\; x\in B\}\].

O conectivo ou expressa que o elemento pode ser tomado de qualquer região dos conjuntos em questão. O conectivo e expressa a simultaneidade, ou seja, indica que o elemento pertence aos dois conjuntos, ao mesmo tempo.

Definição: Sejam dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, a inclusão de conjuntos é denotada por $$A\subset B$$. Isto traduz que $$A$$ é parte de $$B$$, ou, em outras palavras, $$A$$ é subconjunto de $$B$$.

A relação de inclusão carrega as seguintes propriedades algébricas:

i.  $$A\subset A$$ — Propriedade Reflexiva;

ii.  se $$A\subset B$$ e $$B\subset A$$, então $$A=B$$ — Propriedade Antissimétrica;

iii. se $$A\subset B$$ e $$B\subset A$$, então $$A\subset C $$— Propriedade Transitiva.

Exercício 1

Dados os conjuntos $$A$$ e $$B$$, seja $$X$$ um conjunto com as seguintes propriedades:

i. $$X \supset A$$ e $$X\supset B$$,

ii. Se $$Y\supset A$$ e $$Y\supset B$$, então $$Y\supset X$$.

Prove que $$X=A\cup B$$.

Demonstração:

Referência:

Próximos exercícios 

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