Questão
Seja $$E=F_{1}\oplus F_{2}$$. Se $$\mathcal{B}_{1}$$ é uma base de $$F_{1}$$, e $$\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$F_{2}$$, prove que $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é uma base de $$E$$.
Solução:
Seja $$\mathcal{B}_{1}=\{w_{1},…,w_{k}\}$$, e seja $$\mathcal{B}_{2}=\{u_{1},…,u_{r}\}$$.
Da hipótese, sabemos que todo vetor $$v$$ de $$E$$ é escrito de maneira única como soma de $$w\in F_{1}$$ e $$u\in F_{2}$$. Assim, podemos escrever:
\[v=w+u=\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}\cdot w_{k}+\beta_{1}u_{1}+…+\beta_{r}u_{r}\].
Vemos que o conjunto $$\mathcal{B}_{1}\cup\mathcal{B}_{2}$$ é gerador de $$E$$. Além disso, este é um conjunto linearmente independente, dado que $$F_{1}\cap F_{2}=\{0_{E}\}$$.
Com efeito, suponha que exista uma combinação linear não nula (coeficientes nulos) para
\[\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}w_{k}+\beta_{1}u_{1}+…+\beta_{r}u_{r}=0\].
Rearranjando a equação, obtemos:
\[\alpha_{1}w_{1}+…+\alpha_{k}w_{k}=-\beta_{1}u_{1}-…-\beta_{r}u_{r}=v\].
Como os vetores $$w_{i}$$ e $$u_{j}$$ são linearmente independentes em seus conjuntos, é obrigatório que os coeficientes sejam nulos, a fim de que $$v= 0_{E}$$. Neste caso, temos $$v\neq 0_{E}$$, isto é, existe $$v\in F_{1}\cap F_{2}$$, o que contraria a hipótese da soma direta. Portanto os coeficientes são da forma $$\alpha_{i}=\beta_{j}=0$$, isto é, o conjunto união é linearmente independente.
Referências
[1] – Lima,L. Elon – Álgebra Linear
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