Arquivos Equação Logarítmica - Educacional Plenus

UNICAMP – A função L(x) = a.ebx fornece o nível de iluminação

Plenus — Sun, 28 Jan 2024 03:34:46 +0000

A função L(x) = a.e^bx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.

a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.

b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

Solução:
a) Temos L(1) = 60 e $$L(2)=30$$. O primeiro fornece $$60 = a\cdot e^{b}$$; o segundo, $$30 =a\cdot e^{2b}$$. Se dividirmos uma expressão pela outra, obtemos

\[2=\frac{60}{30}=\frac{a\cdot e^{b}}{a\cdot e^{2b}}=e^{-b}.\]

Transformando em logaritmo, teremos $$b=-Ln 2= Ln(1/2)$$.

Substituindo esse valor na primeira equação, temos

\[a\cdot e^{Ln(1/2)}=60\longrightarrow a/2=60\longrightarrow a = 120.\]

b) Basta fazermos $$15=L(x)=120\cdot e^{Ln(1/2)\cdot x}$$, então $$(1/8)=(15/120) = e^{Ln(1/2)\cdot x}$$. Daqui, obtemos $$Ln(1/2)\cdot x = Ln(1/8) = Ln ((1/2)^{3}) = 3 Ln(1/2)$$, donde tiramos que $$x = 3$$.

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FUVEST 2009 – Q.75 (1ª Fase)

Plenus — Thu, 12 Oct 2023 18:43:00 +0000

O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 2log₂(1+x√2) – log₂(x√2) = 3.
Então, 2log₂((2a+4)/3) a é igual a

a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) 2

Solução:

1) • Aplicando a propriedade do expoente, temos a igualdade $$2\cdot log_{2}(1+x\sqrt{2}) = log_{2}[(1+x\sqrt{2})^{2}]$$. Nossa equação se torna

\[log_{2}[(1+x\sqrt{2})^{2}] – log_{2}(x\sqrt{2})=3.\]

• Aplicando a propriedade da diferença dos logaritmos (= logaritmo da divisão), teremos

\[log_{2}[\frac{(1+x\sqrt{2})^{2}}{x\sqrt{2}}]=3.\]

• Aplicando a definição de logaritmo, encontramos a igualdade

\[\frac{(1+x\sqrt{2})^{2}}{x\sqrt{2}}=2^{3}=8.\]

Rearranjando a equação, obtemos $$1 + 2x^{2}-6x\sqrt{2}=0$$. Por Bháskara, obtemos as raízes

\[x= \frac{3\sqrt{2}\pm 4}{2}.\]

A menor delas é a=(3√2 – 4)/2.

2) Agora, substituímos o valor encontrado na última expressão, de modo a termos

\[log_{2}((3\sqrt{2})/3)=log_{2}(2^{1/2})=1/2.\]

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Progressão Geométrica – Exercício 30

Plenus — Wed, 26 Apr 2023 20:56:17 +0000

Sabe-se que 1 + log x + log2x + log3x + … = 3/5. Calcule o valor de x³ sabendo que |log x| < 1.

Solução:
i) O termo inicial da PG é $$a_{1}=1$$ e a razão é $$q=log(x)$$.

Usando a soma infinita da progressão geométrica, obtemos $$\frac{1}{1-log(x)}=3/5$$.
A equação anterior pode ser reescrita como $$1 – log(X)=5/3$$, o que equivale a $$log(x) = -2/3$$.

ii) Aplicando-se a definição de logaritmo, obtemos $$10^{-2/3}=x$$, e ao elevarmos ambos os lados à terceira potência, obtemos $$10^{-2}=x^{3}$$.

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UNICAMP 2021 – 1ª Fase – 2º Dia – Q.43

Plenus — Thu, 25 Feb 2021 20:48:47 +0000

Dados preliminares da pandemia do Covid-19 indicam que, no início da disseminação, em determinada região, o número de pessoas contaminadas dobrava a cada 3 dias. Usando que log(2) ≅ 0,3 e log(5)≅0,7, após o primeiro contágio, o número de infectados atingirá a marca de 4 mil entre

a) o 18º dia e o 24º dia.
b) o 25º dia e o 31º dia.
c) o 32º dia e o 38º dia.
d) o 39º dia e o 45º dia.

Solução:

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Resolução – Mackenzie 2020 – Q.24 – Grupos II e III

Plenus — Tue, 16 Jun 2020 16:06:21 +0000

Questões anteriores

Questão

A equação $$2\cdot log(⁡x)=log(⁡1000)+colog(10)$$ existe para x igual a

a) 1000

b) 100

c) 10

d) – 10

e) 0

Solução:

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UERJ 2020 – 1° Exame de Qualificação – Q. 33

Plenus — Wed, 07 Aug 2019 06:14:13 +0000

Em uma fábrica, uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo, com 25 cm de comprimento, 10 cm de largura e 8 cm de altura, é preenchida com pequenos cubos de 0,5 cm³. Inicialmente, apenas um cubo é colocado na caixa. Em seguida, a cada minuto, duplica-se o número de cubos dentro dela.

Considere a tabela:

O valor do tempo t, em minutos, necessário para a caixa ser totalmente preenchida, é igual a:

(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18

Solução:

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