O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 2log2(1+x√2) – log2(x√2) = 3.
Então, 2log2((2a+4)/3) a é igual a
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) 2
Solução:
1) • Aplicando a propriedade do expoente, temos a igualdade $$2\cdot log_{2}(1+x\sqrt{2}) = log_{2}[(1+x\sqrt{2})^{2}]$$. Nossa equação se torna
\[log_{2}[(1+x\sqrt{2})^{2}] – log_{2}(x\sqrt{2})=3.\]
• Aplicando a propriedade da diferença dos logaritmos (= logaritmo da divisão), teremos
\[log_{2}[\frac{(1+x\sqrt{2})^{2}}{x\sqrt{2}}]=3.\]
• Aplicando a definição de logaritmo, encontramos a igualdade
\[\frac{(1+x\sqrt{2})^{2}}{x\sqrt{2}}=2^{3}=8.\]
Rearranjando a equação, obtemos $$1 + 2x^{2}-6x\sqrt{2}=0$$. Por Bháskara, obtemos as raízes
\[x= \frac{3\sqrt{2}\pm 4}{2}.\]
A menor delas é a=(3√2 – 4)/2.
2) Agora, substituímos o valor encontrado na última expressão, de modo a termos
\[log_{2}((3\sqrt{2})/3)=log_{2}(2^{1/2})=1/2.\]
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