Demonstração:

Por hipótese, existe $$M_{0}>0$$ tal que, para qualquer $$x\in A$$, $$||x||\leq M_{0}$$. Seja um elemento $$p\in \bar{A}$$, um ponto no fecho do conjunto $$A$$. Sabe-se que, para qualquer $$\epsilon>0$$, existe $$x\in A\cap B(p,\epsilon)$$, pelo fato de $$p$$ ser um ponto adente ao conjunto $$A$$.

Utilizando essa informação e a hipótese do conjunto limitado, tem-se que, para qualquer $$\epsilon>0$$, existe $$x\in A$$ tal que

\[||p-x||<\epsilon \Longrightarrow ||p|| < \epsilon + ||x|| = \epsilon + M_{0}.\]

Isso prova que $$||p||<M_{0}$$, do contrário, haveria $$r\geq 0$$ tal que $$r+M_{0}=||p||$$. Escolhendo $$\epsilon <r/2$$, ter-se-ia

\[r+M_{0}=||p||<\epsilon + M_{0}=\frac{r}{2}+M_{0},\]

o que é claramente o um absurdo. Isso prova que, seja qual for o elemento do fecho de $$A$$, a sua norma não pode ultrapassar o valor de $$M_{0}$$, isto é: o fecho é um conjunto limitado em $$E$$.

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Solução:

Por ser uma sequência de Cauchy, fixando $$x$$, escolha $$\epsilon = 1$$. Assim, existirá $$p_{\epsilon}\in\mathbb{N}$$ tal que $$||T_{n}(x)-T_{n+p}(x)||<1$$. Pondo $$n=1$$, obtemos:

\[||T_{n+p}||<1+||T_{1}(x)||\]. Portanto, para todo $$p>p_{\epsilon}$$, temos $$||T_{n+p}||<c_{1}$$, com $$c_{1}=1+||T_{1}(x)||$$.

Agora, basta escolher $$c_{x}=max\{||T_{1}(x)||,…,||T_{p_{\epsilon} +1}(x)||, c_{1} \}$$, para termos as hipóteses do teorema de Banach-Steinhaus. Concluímos, pelo referido teorema, que existe $$a>0$$ tal que $$||T_{n}||<a$$.

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