Seja um espaço vetorial normado $$E$$. Dado um conjunto $$A\subset E$$ limitado, prove que o fecho de $$A$$ também é limitado.
Demonstração:
Por hipótese, existe $$M_{0}>0$$ tal que, para qualquer $$x\in A$$, $$||x||\leq M_{0}$$. Seja um elemento $$p\in \bar{A}$$, um ponto no fecho do conjunto $$A$$. Sabe-se que, para qualquer $$\epsilon>0$$, existe $$x\in A\cap B(p,\epsilon)$$, pelo fato de $$p$$ ser um ponto adente ao conjunto $$A$$.
Utilizando essa informação e a hipótese do conjunto limitado, tem-se que, para qualquer $$\epsilon>0$$, existe $$x\in A$$ tal que
\[||p-x||<\epsilon \Longrightarrow ||p|| < \epsilon + ||x|| = \epsilon + M_{0}.\]
Isso prova que $$||p||<M_{0}$$, do contrário, haveria $$r\geq 0$$ tal que $$r+M_{0}=||p||$$. Escolhendo $$\epsilon <r/2$$, ter-se-ia
\[r+M_{0}=||p||<\epsilon + M_{0}=\frac{r}{2}+M_{0},\]
o que é claramente o um absurdo. Isso prova que, seja qual for o elemento do fecho de $$A$$, a sua norma não pode ultrapassar o valor de $$M_{0}$$, isto é: o fecho é um conjunto limitado em $$E$$.
