Mostre que as matrizes $$A=\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]$$ em que y é uma número real não nulo, verificam a equação $$X^{2}=2X$$.

Solução:

Basta substituirmos os valores na equação indicada.

$$A^{2}=\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2&\frac{2}{y}\\2y&2 \end{array}\right]=2\cdot\left[\begin{array}{cc}1&\frac{1}{y}\\y&y \end{array}\right]=2A$$.

Exercício

Sejam $$A=\left(\begin{array}{ccc}1&-2&-1\\1&0&-1\\4&-1&0 \end{array}\right)$$ e $$X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z \end{array}\right)$$. Verifique que

a) Verifique que $$xA_{1}+yA_{2}+zA_{3}=AX$$, sendo $$A_{j}$$ a j-ésima coluna da matriz $$A$$.

b) Verifique que a segunda coluna de $$C=A^{2}$$ é $$C_{2}=-2A_{1}-A_{3}$$.

c) Tente generalizar o que foi feito em a) e b) para a seguinte situação: Sejam $$A$$ uma matriz $$m\times n$$ , $$B$$ uma matriz $$n\times k$$ e $$C=AB$$. Se $$C_{j}$$ é a j-ésima coluna de $$C$$, encontre $$C_{j}$$ em termos das $$n$$ colunas de $$A$$ e da j-ésima coluna de $$B$$.

Solução:

a)

\[AX=\left(\begin{array}{c}x-2y-z\\x-z\\4x-y \end{array}\right)=x\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\4 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}-2\\-0\\-1 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\0 \end{array}\right)\]

b)

$$A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}-5&-1&1\\-3&-1&-1\\3&-8&-3 \end{array}\right)$$.

Agora, precisamos verificar que existem os escalares α e β, que resolvem a equação a seguir.

$$C_{2}=\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\-8\end{array}\right) = \alpha\left(\begin{array}{c}1\\1\\4 \end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}-1\\-1\\0 \end{array}\right)$$.

Observe que temos o seguinte sistema linear:

$$zalpha-\beta =-1$$ ; $$4\alpha = -8\longrightarrow \alpha =-2$$.

Portanto, $$\beta = -1$$.

Isto nos diz que a afirmação é verdadeira, pois encontramos dois valores que resolvem o problema.

Exercício

Seja A uma matriz $$m\times n$$ e $$X = \left[\begin{array}{c}x_{1}\\.\\.\\.\\x_{n} \end{array}\right]$$ uma matriz $$n\times 1$$.

Prove que $$AX = \sum^{n}_{j=1} x_{j}A_{j}$$, em que $$A_{j}$$ é a j-ésima coluna de A.

Solução:

$$ AX =\left[\begin{array}{ccc} a_{11}&…&a_{1 n}\\…&…&…\\ a_{m 1}&…&a_{m n} \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{c}x_{1}\\.\\.\\.\\x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a_{11}x_{1}+…+a_{1n}x_{n}\\.\\.\\.\\a_{n1}x_{1}+…+a_{nn}x_{x} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_{1}\cdot A_{1}+…+x_{n}A_{n} \end{array}\right]= \sum^{n}_{j=1} x_{j}Aj$$

Exercício

Sejam $$E_{1}=\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\…\\0 \end{array}\right]$$ , $$E_{2}=\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\\…\\0 \end{array}\right]$$, … , $$E_{n}=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\\1 \end{array}\right]$$.

Se $$A=\left[\begin{array}{ccc}a_{11} &…&a_{1n}\\…\\a_{m1}&…&a_{mn} \end{array}\right]$$ é uma matriz $$m\times n$$, então $$AE_{j}=$$ j-ésima coluna da matriz $$A$$.

Solução:

Usando o exercício anterior, com $$X=E_{j}$$ ,temos:

\[AE_{j}=\sum^{m}_{j=1} x_{j}\cdot A_{j}=0\cdot A_{1}+…+1\cdot A_{j}+…0\cdot A_{n}=A_{j}\].

Exercício

a) Mostre que, se $$A$$ é uma matriz $$m\times n$$, tal que $$AX = 0$$, para toda matriz $$X$$ $$n\times 1$$, então $$A = 0$$ (matriz nula).

b) Sejam $$B$$ e $$C$$ matrizes $$m\times n$$, tais $$BX = CX$$, para todo $$X$$, $$n\times 1$$. Mostre que $$B = C$$. (Sugestão: use o item anterior.)

Solução:

a) Dada a afirmação de que $$AX=0$$, para todo vetor $$X$$ na condição apresentada, podemos substituir $$X=E_{j}$$, para todo $$j\in\{1,..,n\}$$.

Deste modo, notamos que $$AE_{j}=0$$, mas, do exercício anterior, $$AE_{j}=A_{j}$$ (vetor coluna da matriz). Portanto, $$AE_{j}=A_{j}=0$$ (vetor nulo), para todo $$j$$. Segue que a matriz é formada por vetores colunas nulos, isto é, ela também é nula.

b) \[BX=CX \longrightarrow BX-CX=0 \longrightarrow (B-C)X=0\].

Do item anterior, a matriz $$B-C$$ é nula, ou seja, $$B-C=0\longrightarrow B=C$$.

Exercício

Mostre que a matriz identidade $$I_{n}$$ é a única matriz tal que $$AI_{n} = I_{n} = A$$ para qualquer matriz A, $$n\times n$$.

Solução:

Este é um exercício no qual devemos demonstrar a unicidade da matriz identidade. Para tanto, supomos a existência de uma outra matriz $$J_{n}$$, que realiza a mesma propriedade da identidade. Além disso, lembre-se de que $$I_{n}=I^{-1}_{n}$$.

$$I_{n}J_{n}=I_{n}\Longrightarrow J_{n}=I_{n}I^{-1}_{n}=I_{n}$$.

Provamos que as duas matrizes são idênticas, isto é, $$I_{n}$$ é única.

Exercício

Dizemos que uma matriz $$A$$, $$n\times n$$, é simétrica se $$A^{t} = A$$ e é anti-simétrica se $$A^{t} = -A$$.

(a) Mostre que, se $$A$$ é simétrica, então $$a_{ij} = a_{ji}$$, para $$i, j = 1, . . . n$$ e que, se $$A$$ é anti-simétrica, então $$a_{ij} = -a_{ji}$$, para $$i, j = 1, . . . n$$. Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz antisimétrica são iguais a zero.

(b) Mostre que se $$A$$ e $$B$$ são simétricas, então $$A + B$$ e $$\alpha A$$ são simétricas, para todo escalar α.

(c) Mostre que se $$A$$ e $$B$$ são simétricas, então $$AB$$ é simétrica se, e somente se, $$AB = BA$$.

(d) Mostre que se $$A$$ e $$B$$ são anti-simétricas, então $$A + B$$ e $$\alpha A$$ são anti-simétricas, para todo escalar α.

(e) Mostre que, para toda matriz $$A$$, $$n\times n$$, $$A + A^{t}$$ é simétrica e $$A – A^{t}$$ é anti-simétrica.

(f) Mostre que toda matriz quadrada $$A$$ pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.

Solução:

https://www.youtube.com/watch?v=jpKGzH6aWYY

Exercício

Responda falso ou verdadeiro para cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas).

a) Se $$A$$ e $$B$$ são duas matrizes $$n\times n$$ e $$AB=BA$$, então $$(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$$ para todo número natural $$p$$.

b) Se $$A$$ e $$B$$ são matrizes $$n\times n$$ tais que $$AB=0$$, então $$BA=0$$.

c) Se $$A$$ é uma matriz $$n\times n$$ e $$A^{4}−3A^{2}+7A−I_{n}=0$$, então $$A$$ é invertível (isto é, $$AB=BA=I_{n}$$, para alguma matriz $$B$$, $$n\times n$$).

Solução:

a) Verdadeiro.

Provaremos por indução finita. Primeiro, verificamos se é válido para $$p=2$$.

De fato, $$(AB)^{2}=ABAB=AABB=A^{2}B^{2}$$.

Note que, pela hipótese de as matrizes comutarem, vale $$ABAB=AABB$$.

Agora, assumimos que vale para $$p$$ e provamos para $$p+1$$.

Se $$(AB)^{p}=A^{p}B^{p}$$, então \[(AB)^{p+1}=(AB)^{p} (AB)=A^{p}B^{p}AB=A^{p}AB^{p}B=A^{p+1}B^{p+1}\].

b) Verdadeiro.

Por ser $$AB=0$$, então vale $$AB+A=A\Longrightarrow A(B+I)=A$$. Da unicidade da matriz $$I_{n}$$, temos que: ou $$A=I$$, fazendo com que $$(B+I)=I\longrightarrow B=0$$, ou $$A =0$$. O raciocínio análogo valerá para $$B$$.

Deste modo, $$BA=0$$.

Bibliografia:

[1] – Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear – R. Santos

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