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Demonstração:

i) Suponha que $$m=1$$. O sistema reduz-se a uma única equação com $$k+1$$ incógnitas:

\[a_{11}x_{1}+…+a_{1 (1+k)}x_{1+k}=0.\]

Claramente, existe ao menos dois coeficientes não nulos nessa equação, ou teríamos $$m=k=1$$. Supondo, sem perda de generalidade, que $$a_{1 1+k},a_{1 1}\neq 0$$, temos a relação

\[x_{1+k}=-\frac{a_{11}x_{1}+…+a_{1 k}x_{k} }{a_{1 (1+k)}}.\]

Fazendo $$x_{s}=0$$, para $$s\in \{2,…,k\}$$, tem-se que $$x_{1+k}=-\frac{a_{11}}{1 (k+1)}$$, de modo que a solução obtida não é nula.

ii) Assumindo como hipótese de indução o lema para $$m\times m+k$$. Se o sistema apresentar as dimensões $$m+1\times m+1+k$$, basta tomar a última equação:

\[a_{m+1 1}x_{1} +….+a_{(m+1) (m+r)}x_{m+r} + a_{(m+1) (m+1+r)}x_{m+1+r}=0,\]

de modo que, pelos mesmos critérios apresentados no caso $$m=1$$, e sem perda de generalidade, temos

\[x_{m+1+r}=-\frac{a_{(m+1) 1}x_{1} +….+a_{(m+1) (m+r)}x_{m+r}}{a_{(m+1) (m+1+r)}}.\]

Substituindo essa expressão em todas as equações anteriores, o sistema resultante terá dimensão $$m\times m+r$$, pois a última incógnita depende de uma combinação linear das outras, obtida da última equação. Por hipótese de indução, o novo sistema tem solução não trivial e, portanto, o sistema original também possui essa mesma solução.

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Demonstração:

Passo 1

Por indução, faremos para $$n=1$$. Neste caso, existe apenas a equação $$b_{1 1}x_{1}+…+b_{1 n}x_{n}=0$$. Isolando $$x_{n}$$, obtemos

\[x_{n}=\frac{-1}{b_{1 n}}\cdot (b_{1 1}x_{1}+…+b_{1 n-1}x_{n-1})\].

Atribuindo valores específicos, por exemplo: $$x_{1}=x_{2}=…=x_{n-2}=0$$ e $$x_{n-1}=1$$, obtemos a solução não trivial:

\[x=(0,…,1,\frac{-b_{1 n-2}}{b_{1 n}})\]

Passo 2:

Assumimos que a hipótese de indução é válida para matrizes $$m-1 \times n-1$$, com $$m<n$$. Vamos provar que o sistema $$m \times n$$ também tem solução não trivial. Agora, temos o sistema com $$m$$ equações nas linhas $$i$$, como a seguir:

\[b_{i 1}x_{1}+…+b_{i n}x_{n}=0\]

Isolando $$x_{n}$$ na última linha, temos:

\[x_{n}=\frac{-1}{b_{m n}}\cdot (b_{m 1}x_{1}+…+b_{m n-1}x_{n-1})\].

Substituindo este valor em todas as $$m-1$$ equações anteriores, obtemos um sistema $$m-1 \times n-1$$, na forma $$Ax=0$$, o qual, por hipótese de indução, tem solução não trivial. Portanto o sistema $$m\times n$$ também tem solução, dado que $$x_{n}$$ será calculado pelos valores obtidos de $$x_{1},..,x_{n}$$ no sistema $$m-1\times n-1$$, sendo um deles diferente de zero.

Observação: Podemos assumir que as $$m$$ linhas são linearmente independentes. Caso não fossem, teríamos um número $$p$$ de linhas L.I, de modo que $$p<m<n$$. Então aplicaríamos o mesmo procedimento para o sistema $$p\times n$$, com $$p<n$$.

Corolário: Um sistema homogêneo $$m\times n$$ subdeterminado ($$m<n$$) tem infinitas soluções.

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