Álgebra Linear
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Lema sobre sistemas lineares

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Todo sistema linear homogêneo com $$m$$ equações e $$m+k$$ incógnitas admite uma solução não trivial. Em outras palavras, existe $$x_{m+k}$$ não nulo que satisfaz $$A_{m\times m+k}x_{m+k}=0_{m}$$, para $$m$$ e $$k$$ naturais.

Demonstração:

i) Suponha que $$m=1$$. O sistema reduz-se a uma única equação com $$k+1$$ incógnitas:

\[a_{11}x_{1}+…+a_{1 (1+k)}x_{1+k}=0.\]

Claramente, existe ao menos dois coeficientes não nulos nessa equação, ou teríamos $$m=k=1$$. Supondo, sem perda de generalidade, que $$a_{1 1+k},a_{1 1}\neq 0$$, temos a relação

\[x_{1+k}=-\frac{a_{11}x_{1}+…+a_{1 k}x_{k} }{a_{1 (1+k)}}.\]

Fazendo $$x_{s}=0$$, para $$s\in \{2,…,k\}$$, tem-se que $$x_{1+k}=-\frac{a_{11}}{1 (k+1)}$$, de modo que a solução obtida não é nula.

ii) Assumindo como hipótese de indução o lema para $$m\times m+k$$. Se o sistema apresentar as dimensões $$m+1\times m+1+k$$, basta tomar a última equação:

\[a_{m+1 1}x_{1} +….+a_{(m+1) (m+r)}x_{m+r} + a_{(m+1) (m+1+r)}x_{m+1+r}=0,\]

de modo que, pelos mesmos critérios apresentados no caso $$m=1$$, e sem perda de generalidade, temos

\[x_{m+1+r}=-\frac{a_{(m+1) 1}x_{1} +….+a_{(m+1) (m+r)}x_{m+r}}{a_{(m+1) (m+1+r)}}.\]

Substituindo essa expressão em todas as equações anteriores, o sistema resultante terá dimensão $$m\times m+r$$, pois a última incógnita depende de uma combinação linear das outras, obtida da última equação. Por hipótese de indução, o novo sistema tem solução não trivial e, portanto, o sistema original também possui essa mesma solução.

Tags: sistemas lineares

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