Resposta: 0,9/100π
Solução (no vídeo abaixo):

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Solução:
Como a área do círculo é πr² e o raio é uma função do tempo, teremos

\[\frac{dA}{dt}=2\pi r(t)\cdot\frac{dr}{dt}.\]

Como $$\frac{dr}{dt}=16\; cm/s$$ e $$r= 4\; cm$$, temos

\[\frac{dA}{dt}|_{r=4}=2\cdot\pi\cdot 4\cdot 16 = 128\pi\; cm^{2}/s.\]

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Solução:

O volume da esfera é (4/3)πr³. Assumimos que r é uma função do tempo e derivamos o volume em t, assim

\[\frac{dV }{dt}=\frac{4\pi \cdot 3r^{2}}{3}\frac{dr}{dt}= 4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}.\]

Como a taxa de crescimento do volume é 8 cm³/min e o raio é de 2 cm (diâmetro = 4 cm), teremos

\[\frac{dV}{dr}|_{r=2} = 4\pi 2^{2}\cdot \frac{dr}{dt}=8\Longrightarrow\]

\[\frac{dr}{dt}=\frac{8}{16\pi}=\frac{1}{2\pi}\;\text{cm/min}.\]

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Mais exercícios sobre taxas de variação, aqui!

Solução:

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A velocidade de uma partícula é dada como função derivada da função $$x(t)$$ espaço. A função espaça deve ser contínua e diferenciável, definida num intervalo [a,b] e sua imagem um subconjunto real.

\[v(t)=x'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}\]

A aceleração é definida quando $$v(t)$$ possui as condições idênticas às condições de $$x(t)$$,

\[a(t)=v'(t)=x”(t)=lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}\].

Exemplo 1: Uma partícula desloca-se sobre o eixo $$x$$ com função de posição (espaço) $$x(t)=3+2t-t^{2}$$, com $$t\leq 0$$.

a) Qual a velocidade no instante $$t$$? a) Qual a velocidade no instante $$t$$?

b) Qual a aceleração no instante $$t$$? b) Qual a aceleração no instante $$t$$?

c) Estude a variação do sinal de $$v(t)$$. c) Estude a variação do sinal de $$v(t)$$.

a] Basta derivarmos a equação da posição na variável $$t$$.

\[\frac{d}{dt}(3+2t-t^{2})=0+2-2t\Longrightarrow v(t)=2-2t\].

b] Basta derivarmos a equação da velocidade na variável $$t$$.

\[\frac{d}{dt}(2-2t)=0-2\Longrightarrow a(t)=-2 m/s^{2}\].

c] Estudar a variação do sinal da $$v(t)$$, é o mesmo que saber em que partes ela é crescente, ou decrescente.

$$v(t)=2-2t$$, então $$v(t)\geq 0\Longrightarrow 2-2t\geq 0 \Longrightarrow -2+2t\leq 0\Longrightarrow t\leq 1$$.

O conjunto complementar de $$t$$ apresenta $$v(t)$$ decrescente.

Exemplo 2: Um ponto desloca-se sobre a hipérbole $$xy=4$$, de tal modo que a velocidade de $$y$$ é $$y'(t)=\beta$$, com β constante. Mostre que a aceleração da abscissa $$x$$ é $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{\beta^{2}}{8}x^{3}$$.

Considere $$y=(4/x)$$. Considere $$y=(4/x)$$.

Derivemos a função toda por $$t$$. Derivemos a função toda por $$t$$.

\[\frac{d}{dt}(xy)=\frac{d}{dt}(4)=0\longrightarrow x'(t)y(t)+x(t)y'(t)=0\Longrightarrow x'(t)(4/x) + x(t)\beta=0\Longrightarrow x'(t)=-\frac{x^{2}\beta}{4}\]

Note que, ao derivarmos $$x'(t)$$, derivaremos a expressão $$x^{2}(t)$$. Aqui, é necessário aplicar a regra da cadeia, pois a derivada ocorre em $$t$$, para um produto $$x\cdot x$$.

\[\Longrightarrow x”(t)=\frac{d}{dt}(-\frac{x^{2}\beta}{4})=-\frac{x(t)x'(t)\beta}{2}=-\frac{x(t)\cdot (-\frac{x^{2}\beta}{4})}{2}=\frac{x^{3}(t)\beta}{8}\]

Termodinâmica: Lei dos Gases

Exemplo 3: A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é $$PV=nRT$$ , em que n é o número de mols de gás e $$R=0,0821$$ é a constante do gás. Suponha que, em um certo instante, $$P=8,0$$ atm, e está crescendo a uma taxa de 0,10 atm/min, e $$V=10L$$, e está decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante, se $$n=10$$ mols.

Note que $$P'(t)=\frac{dP}{dt}=0,1 atm/min$$ e $$V'(t)=\frac{dV}{dt}=0,15 L/min$$.

Derivemos a equação completa pelo tempo. Observe que, exceto por $$R$$ e $$n$$, as outras variáveis são funções do tempo, por isso, é necessário utilizar a regra da cadeia.

\[\frac{d(P\cdot V)}{dt}=\frac{d(nRT)}{dt}\longrightarrow P’V+PV’=nRT'(t)\longrightarrow \frac{dT}{dt}=\frac{P’V+PV’}{nR}\].

O instante em questão, para o qual se pede a derivada da temperatura, é quando $$P=8,0$$ e $$V=10L$$. Assim, basta substituir os valores das derivadas obtidas.

\[\frac{dT}{dt}=\frac{P’V+PV’}{nR}=\frac{0,1\cdot 10+8,0\cdot 0,15}{10\cdot 0,0821}\cong 2,7\]

Eletrodinâmica: Circuitos Elétricos

Exemplo 4: Se dois resistores com resistências $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por

\[\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\].

Se $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ estão aumentando a taxas de 0,3 /s e 0,2 /s, respectivamente, quão rápido R está variando quando $$R_{1}=80$$Ω e $$R_{2}=100$$Ω.

\[\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\Longrightarrow \frac{1}{R}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}\Longrightarrow R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\].

Derivamos a equação obtida, lembrando-nos de que $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ são funções de $$t$$, por isso, deve-se aplica a regra do produto e da multiplicação.

No denominador de $$R$$: $$(R_{1}R_{2})’=(R’_{1}R_{2}+R_{1}R’_{2})$$.

No numerador de $$R$$: $$(R_{1}+R_{2})’=R’_{1}+R’_{2}$$.

\[\frac{dR}{dt}=\frac{(R_{1}R_{2})’\cdot(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2})(R_{1}+R_{2})’}{(R_{1}+R_{2})^{2}}=\frac{(R’_{1}R_{2}+R_{1}R’_{2})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2})(R’_{1}+R’_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}}=\frac{(0,3\cdot 100+0,2\cdot 80)(100+80)-(8000)(0,2+0,3)}{180^{2}}=0,132\]

\[v(t)=x'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}\]

A aceleração é definida quando $$v(t)$$ possui as condições idênticas às condições de $$x(t)$$,

\[a(t)=v'(t)=x”(t)=lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}\].

Exemplo 1: Uma partícula desloca-se sobre o eixo $$x$$ com função de posição (espaço) $$x(t)=3+2t-t^{2}$$, com $$t\leq 0$$.

a) Qual a velocidade no instante $$t$$? a) Qual a velocidade no instante $$t$$?

b) Qual a aceleração no instante $$t$$? b) Qual a aceleração no instante $$t$$?

c) Estude a variação do sinal de $$v(t)$$. c) Estude a variação do sinal de $$v(t)$$.

a] Basta derivarmos a equação da posição na variável $$t$$.

\[\frac{d}{dt}(3+2t-t^{2})=0+2-2t\Longrightarrow v(t)=2-2t\].

b] Basta derivarmos a equação da velocidade na variável $$t$$.

\[\frac{d}{dt}(2-2t)=0-2\Longrightarrow a(t)=-2 m/s^{2}\].

c] Estudar a variação do sinal da $$v(t)$$, é o mesmo que saber em que partes ela é crescente, ou decrescente.

$$v(t)=2-2t$$, então $$v(t)\geq 0\Longrightarrow 2-2t\geq 0 \Longrightarrow -2+2t\leq 0\Longrightarrow t\leq 1$$.

O conjunto complementar de $$t$$ apresenta $$v(t)$$ decrescente.

Exemplo 2: Um ponto desloca-se sobre a hipérbole $$xy=4$$, de tal modo que a velocidade de $$y$$ é $$y'(t)=\beta$$, com β constante. Mostre que a aceleração da abscissa $$x$$ é $$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{\beta^{2}}{8}x^{3}$$.

Considere $$y=(4/x)$$. Considere $$y=(4/x)$$.

Derivemos a função toda por $$t$$. Derivemos a função toda por $$t$$.

\[\frac{d}{dt}(xy)=\frac{d}{dt}(4)=0\longrightarrow x'(t)y(t)+x(t)y'(t)=0\Longrightarrow x'(t)(4/x) + x(t)\beta=0\Longrightarrow x'(t)=-\frac{x^{2}\beta}{4}\]

Note que, ao derivarmos $$x'(t)$$, derivaremos a expressão $$x^{2}(t)$$. Aqui, é necessário aplicar a regra da cadeia, pois a derivada ocorre em $$t$$, para um produto $$x\cdot x$$.

\[\Longrightarrow x”(t)=\frac{d}{dt}(-\frac{x^{2}\beta}{4})=-\frac{x(t)x'(t)\beta}{2}=-\frac{x(t)\cdot (-\frac{x^{2}\beta}{4})}{2}=\frac{x^{3}(t)\beta}{8}\]

Termodinâmica: Lei dos Gases

Exemplo 3: A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é $$PV=nRT$$ , em que n é o número de mols de gás e $$R=0,0821$$ é a constante do gás. Suponha que, em um certo instante, $$P=8,0$$ atm, e está crescendo a uma taxa de 0,10 atm/min, e $$V=10L$$, e está decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante, se $$n=10$$ mols.

Note que $$P'(t)=\frac{dP}{dt}=0,1 atm/min$$ e $$V'(t)=\frac{dV}{dt}=0,15 L/min$$.

Derivemos a equação completa pelo tempo. Observe que, exceto por $$R$$ e $$n$$, as outras variáveis são funções do tempo, por isso, é necessário utilizar a regra da cadeia.

\[\frac{d(P\cdot V)}{dt}=\frac{d(nRT)}{dt}\longrightarrow P’V+PV’=nRT'(t)\longrightarrow \frac{dT}{dt}=\frac{P’V+PV’}{nR}\].

O instante em questão, para o qual se pede a derivada da temperatura, é quando $$P=8,0$$ e $$V=10L$$. Assim, basta substituir os valores das derivadas obtidas.

\[\frac{dT}{dt}=\frac{P’V+PV’}{nR}=\frac{0,1\cdot 10+8,0\cdot 0,15}{10\cdot 0,0821}\cong 2,7\]

Eletrodinâmica: Circuitos Elétricos

Exemplo 4: Se dois resistores com resistências $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por

\[\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\].

Se $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ estão aumentando a taxas de 0,3 /s e 0,2 /s, respectivamente, quão rápido R está variando quando $$R_{1}=80$$Ω e $$R_{2}=100$$Ω.

\[\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\Longrightarrow \frac{1}{R}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}\Longrightarrow R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\].

Derivamos a equação obtida, lembrando-nos de que $$R_{1}$$ e $$R_{2}$$ são funções de $$t$$, por isso, deve-se aplica a regra do produto e da multiplicação.

No denominador de $$R$$: $$(R_{1}R_{2})’=(R’_{1}R_{2}+R_{1}R’_{2})$$.

No numerador de $$R$$: $$(R_{1}+R_{2})’=R’_{1}+R’_{2}$$.

\[\frac{dR}{dt}=\frac{(R_{1}R_{2})’\cdot(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2})(R_{1}+R_{2})’}{(R_{1}+R_{2})^{2}}=\frac{(R’_{1}R_{2}+R_{1}R’_{2})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2})(R’_{1}+R’_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}}=\frac{(0,3\cdot 100+0,2\cdot 80)(100+80)-(8000)(0,2+0,3)}{180^{2}}=0,132\]

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