Aplicações da Derivada – Exercício 3

A lei dos gases para um gás ideal à temperatura absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V (em litros) é $$PV=nRT$$ , em que n é o número de mols de gás e $$R=0,0821$$ é a constante do gás. Suponha que, em um certo instante, $$P=8,0$$ atm, e está crescendo a uma taxa de 0,10 atm/min, e $$V=10L$$, e está decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante, se $$n=10$$ mols.

Solução:

Note que $$P'(t)=\frac{dP}{dt}=0,1 atm/min$$ e $$V'(t)=\frac{dV}{dt}=-0,15 L/min$$.

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Derivemos a equação completa pelo tempo. Observe que, exceto por $$R$$ e $$n$$, as outras variáveis são funções do tempo, por isso, é necessário utilizar a regra da cadeia.

\[\frac{d(P\cdot V)}{dt}=\frac{d(nRT)}{dt}\longrightarrow P’V+PV’=nRT'(t)\longrightarrow \frac{dT}{dt}=\frac{P’V+PV’}{nR}\].

O instante em questão, para o qual se pede a derivada da temperatura, é quando $$P=8,0$$ e $$V=10L$$. Assim, basta substituir os valores das derivadas obtidas.

\[\frac{dT}{dt}=\frac{P’V+PV’}{nR}=\frac{0,1\cdot 10+8,0\cdot (-0,15)}{10\cdot 0,0821}\cong – 0,244\]