Um filtro próprio, para o qual vale que ou $$A\in\mathcal{F}$$, ou $$A^{C}\in\mathcal{F}$$, para qualquer $$A\subset I$$, é chamado de ultrafiltro.

O ultrafiltro $$\mathcal{F}$$ satisfaz às seguintes propriedades:

• $$A\cup B\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A\in\mathcal{F}$$ ou $$B\in\mathcal{F}$$.
• $$A\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A^{C}\notin\mathcal{F}$$.

Demonstração:

1)

a) Se $$A\cup B\in\mathcal{F}$$ e $$A\notin\mathcal{F}$$, é certo que $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.

O conjunto $$(A\cup B)\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$, pelo (Teorema 1).

Ademais, $$(A\cup B)\cap A^{C} = (A\cap A^{C})\cup (B\cap A^{C})=\emptyset \cup (B\cap A^{C})=B\cap A^{C}$$.

Dado que $$B\cap A^{C}=(A\cup B)\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$, novamente, pelo Teorema 1, tem-se que $$B\in\mathcal{F}$$.

Analogamente, demonstra-se que $$A\in\mathcal{F}$$, se for assumido que $$A\cup B\in\mathcal{F}$$ e $$B\notin\mathcal{F}$$.

b) Se $$A$$(ou$$B$$) $$\in\mathcal{F}$$, o axioma 2 de filtros garante que $$A\cup B\in\mathcal{F}$$, dado que $$A\subseteq (A\cup B)\subseteq I$$.

2)

Se $$A\in\mathcal{F}$$, não se pode ter $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.

Com efeito, como $$\mathcal{F}$$ é um filtro próprio (i.e: não contém o vazio), o Teorema 2 garante que, se $$A,A^{C}\in\mathcal{F}$$, ter-se-ia $$\emptyset=A\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$.

A recíproca da segunda afirmação é obtida de modo análogo, iniciado-se com $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.

O post Lógica Matemática – Teorema 2 – Filtros apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Descreva o resultado do produto matricial $$e^{t}_{j}P$$, para $$j\in\{1,..,n\}$$.

Solução:

Desenvolvendo-se o produto, tem-se

\[e^{T}_{j}P=e^{T}_{j}(I-(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T})=e^{T}_{j}-e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T} =\]

\[\; e^{T}_{j}-e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s})(e_{r}-e_{s})^{T}(\ast) \]

i) Se $$j\neq r $$ e $$j\neq s$$,  $$e^{T}_{j}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{j}e_{r}-e^{T}_{j}e_{s}=0+0=0$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{j}-0(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{j}.\]

ii) Se $$j=r$$, $$e^{T}_{r}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{r}e_{r}-e^{T}_{r}e_{s}=1-0=1$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{r}-1(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{r}-e^{T}_{r}+e^{T}_{s}=e^{T}_{s}.\]

iii) Se $$j=s$$, $$e^{T}_{s}(e_{r}-e_{s}) = e^{T}_{s}e_{r}-e^{T}_{s}e_{s}=0-1=-1$$.

Daqui,

\[(\ast) = e^{T}_{s}-(-1)(e_{r}-e_{s})^{T} = e^{T}_{s}+e^{T}_{r}-e^{T}_{s}=e^{T}_{r}.\]

O post Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

1) Nota-se que $$I_{m\times m}A = A$$.

De fato, o produto $$IA=[\sum^{m}_{s=1}a_{s1}e_{s};…;\sum^{m}_{s=1}a_{sn}e_{s}]$$ (clique aqui para ver a teoria), em que as colunas da matriz $$I$$ são representadas pelos elementos $$e_{s}$$, da base canônica.

Mas é fato que $$\sum^{m}_{s=1}a_{sj}e_{s}=(a_{1j},…,a_{jm})^{T}$$. Daqui, decorre a igualdade:

\[IA=[\sum^{m}_{s=1}a_{s1}e_{s};…;\sum^{m}_{s=1}a_{sn}e_{s}] = [(a_{11},…,a_{1m})^{T};..;(a_{1n},…,a_{mn})^{T}=A.]\].

2) O produto $$F_{1\times n}=e^{T}_{k}A=(a_{k1};…;a_{kn})$$.

Com efeito, $$e^{T}_{k}A =(0,..,1,..0)A=(\sum^{m}_{s=1}(e_{k})_{1s}a_{s1};…;\sum^{m}_{s=1}(e_{k})_{1s}a_{sn})= (0+…+a_{k1}+…0;…;0+…+a_{kn}+…+0)$$.

3) O produto $$R=e_{j}F=[(0;…; a_{k1};…;0)^{T};…;(0;…; a_{kn};…;0)^{T}]$$=

\[\left\{\begin{array}{rc}0,&\mbox{se}\quad i\neq 0,\\a_{kj}, &\mbox{se}\quad i=k.
\end{array}\right. \]

4)

O produto $$E_{ik}A=IA-\beta e_{i}e^{T}_{k}A=A-\beta\cdot R = $$

\[\left\{\begin{array}{rc} a_{sj},&\mbox{se}\quad s\neq i,\\a_{ij}-\beta\cdot a_{kj}, &\mbox{se}\quad s=i.
\end{array}\right. \]

O produto $$E_{ik}A$$ faz com que à linha de índice $$i$$ da matriz $$A$$ seja somado o múltiplo escalar $$-\beta$$ da linha $$k$$ da mesma matriz. Esta é a terceira operação elementar nas linhas de uma matriz.

O post Álgebra Linear – Matrizes Elementares – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[A\cap B\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A,B\in\mathcal{F}.\]

Demonstração

1) Válida a regra, demonstra-se que $$\mathcal{F}$$ é um filtro, isto é, que $$\mathcal{F}$$ cumpre os axiomas de filtro.

Com efeito, o axioma (i) equivale a $$A,B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\cap B\in\mathcal{F}$$.

Sejam $$A\in\mathcal{F}$$ e $$E\subseteq I$$ tais que $$A\subseteq E$$. Dado que $$A=A\cap E$$, é fato que $$A\cap E\in\mathcal{F}$$. Daqui, pela regra enunciada, é fato que $$B\in\mathcal{F}$$.

Comprova-se, assim, a validade do axioma (ii) de filtro.

2) Do fato de que $$\mathcal{F}$$ é um filtro, o axioma (i) equivale a $$A,B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\cap B\in\mathcal{F}$$.

Se $$A\cap B\in\mathcal{F}$$, é fato que que $$A\cap B\subset A\subset I$$, então,  a partir do axioma (ii), tem-se $$A\in\mathcal{F}$$. Analogamente, demonstra-se que $$E\in\mathcal{F}$$.

O post Lógica Matemática – Teorema 1 – Filtros apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Seja $$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(I)$$ um filtro.

Seja $$B$$ um subconjunto próprio de $$I$$. Tem-se $$B\in\mathcal{F}$$ se, e somente se, existirem $$n\in\mathbb{N}$$ e uma família $$\{A_{i}\}_{i=1}^{n}\subset\mathcal{F}$$ tais que

\[\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B.\]

Demonstração:

i) Suponha válido que existem $$n\in\mathbb{N}$$ e a família $$\{A_{i}\}_{i=1}^{n}\subset\mathcal{F}$$ tais que $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B$$.

Do primeiro axioma de filtros, o conjunto $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}$$ pertence ao filtro. Do segundo axioma de filtro, dado que $$\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\subset B$$, é fato que $$B\in\mathcal{F}$$.

ii) Suponha válido que $$B\in\mathcal{F}$$.

Dado que $$B\neq I$$, tomam-se $$x,y\in B^{C}$$. Daqui, edificam-se os conjuntos $$A_{1}=B\cup \{x\}$$ e $$A_{2}=B\cup \{y\}$$.

Dado que $$B\subset B\cap \{x\} = A_{1}$$ e $$B\subset B\cap \{y\} = A_{2}$$, é fato, pelo segundo axioma de filtro, que $$A_{1},A_{2}\in\mathcal{F}$$.

Ademais, $$A_{1}\cap A_{2}=B\subset B$$, donde se conclui a recíproca do teorema.⊂

O post Lógica Matemática – Lema sobre Filtros apareceu primeiro em Educacional Plenus.

O par $$Grp =(Gr,A)$$ é a categoria cujos elementos são os grupos e os morfismos são os homomorfismos de grupo.

Demonstração:

1) Define-se o conjunto $$A\times_{\circ} A=\{(f,g)| dom(g)=cod(f)\}$$.

A operação composição será tomada como a composição usual de funções e será assim definida:

\[\Box: A\times_{\circ} A\longrightarrow A \]

\[  \Box(f,g)= g\circ f.\]

A seta $$\Box$$ está bem-definida, isto é, trata-se de uma função.

Com efeito, dado que $$dom(g)=cod(f)$$, é claro que $$Box(f,g) = g\circ f$$ é um homomorfismo de grupos, logo sempre haverá um representante do par $$(f,g)$$ em $$A$$. Ademais, se $$f’=f$$ e $$g’=g$$, é fato que $$(g’\circ f’)=(g\circ f)$$, ou seja, $$Box(f,g)=\Box(f’,g’)$$.

(Associtatividade de $$\Box$$)

A associatividade de $$\circ$$ garante a propriedade para $$\Box$$.

Sejam $$h,g,f \in A$$ tais que $$cod(f)=dom(g)$$ e $$cod(g)=dom(h)$$.

\[\Box(f,\Box(g,h)) = \Box (f,(h\circ g)) = (h\circ g)\circ f =\]\[ h\circ (g\circ f) = \Box(h\circ g)\Box(f) = h\circ (g\circ f)=\Box ((g\circ f),h)=\]\[\Box(\Box(f,g),h).\]

Adotando-se a notação usual $$\Box(f,g)=g\Box f$$, conclui-se que $$(h\Box g)\Box f = h\Box (g\Box f)$$.

2) Define-se uma relação:

\[Id: Gr\longrightarrow A\]

\[G\mapsto Id_{G}.\]

O símbolo $$Id_{G}$$ representa o homomorfismo identidade do grupo $$G$$.

A relação $$Id$$ está bem-definida.

De fato, dado um grupo $$G$$, sempre haverá um homomorfismo identidade $$Id_{G}$$ que associa $$x\mapsto x$$, para todo $$x\in G$$. Ademais, se $$G=G’$$, é óbvio que $$Id_{G}=Id_{G’}$$.

O post Teoria das Categorias: Grupos e Homomorfismo de Grupos apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Julgue a afirmação: Seja $$𝐴=\left[\begin{array}{ll}1&1/y&\\y&1&\end{array}\right]\quad$$, então $$𝐴^{2}=2𝐴$$.

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 5) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Julgue a afirmação: Se $$𝐴$$ e $$𝐵$$ são matrizes que comutam com a matriz $$M=\left[\begin{array}{ll} 0&-1&\\1&0&\end{array}\right]\quad$$ , então 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 4) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Julgue a afirmação: A única simultaneamente simétrica e anti-simétrica é a matriz nula.

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 3) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Julgue a afirmação: Se $$A$$ e $$B$$ são matrizes $$n\times n$$, então $$(A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$$.

Solução:

O post Geometria Analítica – Matrizes (exercício 2) apareceu primeiro em Educacional Plenus.