Seja $$\mathcal{F}$$ um filtro das partes de $$I$$.
Um filtro próprio, para o qual vale que ou $$A\in\mathcal{F}$$, ou $$A^{C}\in\mathcal{F}$$, para qualquer $$A\subset I$$, é chamado de ultrafiltro.
O ultrafiltro $$\mathcal{F}$$ satisfaz às seguintes propriedades:
- $$A\cup B\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A\in\mathcal{F}$$ ou $$B\in\mathcal{F}$$.
- $$A\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A^{C}\notin\mathcal{F}$$.
Demonstração:
1)
a) Se $$A\cup B\in\mathcal{F}$$ e $$A\notin\mathcal{F}$$, é certo que $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.
O conjunto $$(A\cup B)\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$, pelo (Teorema 1).
Ademais, $$(A\cup B)\cap A^{C} = (A\cap A^{C})\cup (B\cap A^{C})=\emptyset \cup (B\cap A^{C})=B\cap A^{C}$$.
Dado que $$B\cap A^{C}=(A\cup B)\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$, novamente, pelo Teorema 1, tem-se que $$B\in\mathcal{F}$$.
Analogamente, demonstra-se que $$A\in\mathcal{F}$$, se for assumido que $$A\cup B\in\mathcal{F}$$ e $$B\notin\mathcal{F}$$.
b) Se $$A$$(ou$$B$$) $$\in\mathcal{F}$$, o axioma 2 de filtros garante que $$A\cup B\in\mathcal{F}$$, dado que $$A\subseteq (A\cup B)\subseteq I$$.
2)
Se $$A\in\mathcal{F}$$, não se pode ter $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.
Com efeito, como $$\mathcal{F}$$ é um filtro próprio (i.e: não contém o vazio), o Teorema 2 garante que, se $$A,A^{C}\in\mathcal{F}$$, ter-se-ia $$\emptyset=A\cap A^{C}\in\mathcal{F}$$.
A recíproca da segunda afirmação é obtida de modo análogo, iniciado-se com $$A^{C}\in\mathcal{F}$$.
