O subconjunto $$\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(I)$$ um filtro se, e somente se, vale a regra a seguir:
\[A\cap B\in\mathcal{F}\Longleftrightarrow A,B\in\mathcal{F}.\]
Demonstração
1) Válida a regra, demonstra-se que $$\mathcal{F}$$ é um filtro, isto é, que $$\mathcal{F}$$ cumpre os axiomas de filtro.
Com efeito, o axioma (i) equivale a $$A,B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\cap B\in\mathcal{F}$$.
Sejam $$A\in\mathcal{F}$$ e $$E\subseteq I$$ tais que $$A\subseteq E$$. Dado que $$A=A\cap E$$, é fato que $$A\cap E\in\mathcal{F}$$. Daqui, pela regra enunciada, é fato que $$B\in\mathcal{F}$$.
Comprova-se, assim, a validade do axioma (ii) de filtro.
2) Do fato de que $$\mathcal{F}$$ é um filtro, o axioma (i) equivale a $$A,B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\cap B\in\mathcal{F}$$.
Se $$A\cap B\in\mathcal{F}$$, é fato que que $$A\cap B\subset A\subset I$$, então, a partir do axioma (ii), tem-se $$A\in\mathcal{F}$$. Analogamente, demonstra-se que $$E\in\mathcal{F}$$.
