a) o valor de r.
b) a área da região hachurada.

Solução (no vídeo abaixo):

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a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.

b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

Solução:
a) Temos L(1) = 60 e $$L(2)=30$$. O primeiro fornece $$60 = a\cdot e^{b}$$; o segundo, $$30 =a\cdot e^{2b}$$. Se dividirmos uma expressão pela outra, obtemos

\[2=\frac{60}{30}=\frac{a\cdot e^{b}}{a\cdot e^{2b}}=e^{-b}.\]

Transformando em logaritmo, teremos $$b=-Ln 2= Ln(1/2)$$.

Substituindo esse valor na primeira equação, temos

\[a\cdot e^{Ln(1/2)}=60\longrightarrow a/2=60\longrightarrow a = 120.\]

b) Basta fazermos $$15=L(x)=120\cdot e^{Ln(1/2)\cdot x}$$, então $$(1/8)=(15/120) = e^{Ln(1/2)\cdot x}$$. Daqui, obtemos $$Ln(1/2)\cdot x = Ln(1/8) = Ln ((1/2)^{3}) = 3 Ln(1/2)$$, donde tiramos que $$x = 3$$.

O post UNICAMP – A função L(x) = a.e^bx fornece o nível de iluminação apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Qual é o maior valor possível para o número natural r?
b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D.

Solução:
O algoritmo da divisão fornece duas equações:

• $$D = 31a+r$$, e
• $$D=17b + 2r$$.

a) Como o resto sempre deve ser menor que o divisor, teremos $$2r<17$$. O maior número natural que satisfaz a desigualdade é 8, pois $$2\cdot 8 = 16<17$$. O próximo seria $$r=9$$, mas $$18>17$$.

b) Assumindo $$a=4$$ e $$b=7$$, teremos $$31\cdot 4 + r = 17\cdot 7 + 2r$$, então $$r = 5$$. Substituindo na primeira equação, obtemos $$D=31\cdot 4 + 5 = 129$$.

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a) Quantos desses números são pares?

b) Escolhendo-se ao acaso um dos números do item (a), qual a probabilidade de que este número tenha  exatamente dois dígitos ímpares juntos?

Solução:
a) Se fixarmos o número dois como último algarismo, teremos 8 algarismos para escolher dentre os números {1,3,4,5,6,7,8,9}. O total dessas sequências são as permutações possíveis, isto é: 8!. Observe que isso se repete também com os números 4,6 e 8, logo o total de números pares formados por esses algarismos é $$4\cdot 8!$$.

b) Vamos impor que os dois primeiros números sejam ímpares e o último tenha dígito igual a 8. Observe que, após os dois números ímpares, só teremos a intercalação PAR e ÍMPAR, até atingirmos o último dígito, o 8. Exemplo: 132547698. Além disso, observamos que o preenchimento dos algarismos terá os seguintes números disponíveis: Pares = {2,4,6} e Ímpares = {1,3,5,7,9}.  O total de sequências numéricas que satisfazem as condições impostas é dado por $$5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1$$.

Se impusermos ímpares para o segundo e o terceiro dígitos, o número de possibilidades é exatamente o mesmo, e assim por diante. Para contabilizarmos as 4 colocações de ímpares lado a lado e os 4 números pares, tomemos o número anterior e multipliquemos por $$16$$, logo o total será de $$ 16\cdot 5!\cdot 3!$$.

A probabilidade será de $$\frac{16\cdot 5!\cdot 3!}{4\cdot 8!} =\frac{1}{14}$$.

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a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação.

Solução:

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, a fim de que 2 + i seja raiz do polinômio, 2 – i, o conjugado do primeiro, também deverá sê-lo. Aplicando a primeira relação de Girardi para polinômios cúbicos, temos

\[x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{-5}{1}\Longrightarrow\]

\[x_{1}+2+i+2-i=5\Longrightarrow\]

\[x_{1}=5-4 = 1.\]

As três raízes são 1, 2+i e 2-i.

Aplicando-se a última relação de Girardi, teremos

\[1\cdot(2+i)\cdot(2-1)=-\frac{-a}{1}\Longrightarrow\]

\[4+1 = a \Longrightarrow a = 5.\]

Portanto, $$p(x) = x^{3}-5x^{2}+9x-5=0$$.

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a) Quantos domicílios com condições adequadas tem a cidade de Campinas?

b) Se a população da cidade crescer 10% nos próximos 10 anos, quantos domicílios deverão ser construídos por ano para que todos os habitantes tenham uma moradia adequada ao final desse período de 10 anos? Suponha ainda 4 moradores por domicílio, em média.

Solução:

Resolução – UNICAMP 2004 – 1ª Fase – Q.01 (Matemática) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

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