2ª Fase - UnicampMatemática Básica
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UNICAMP – Sabe-se que o número natural D, quando dividido por 31

Sabe-se que o número natural D, quando dividido por 31, deixa resto r ∈ N e que o mesmo número D, quando dividido por 17, deixa resto 2r.

a) Qual é o maior valor possível para o número natural r?
b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D.



Solução:

O algoritmo da divisão fornece duas equações:

  • $$D = 31a+r$$, e
  • $$D=17b + 2r$$.

a) Como o resto sempre deve ser menor que o divisor, teremos $$2r<17$$. O maior número natural que satisfaz a desigualdade é 8, pois $$2\cdot 8 = 16<17$$. O próximo seria $$r=9$$, mas $$18>17$$.

b) Assumindo $$a=4$$ e $$b=7$$, teremos $$31\cdot 4 + r = 17\cdot 7 + 2r$$, então $$r = 5$$. Substituindo na primeira equação, obtemos $$D=31\cdot 4 + 5 = 129$$.

Tags: 2004, algoritmo da divisão

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