Dada a equação polinomial com coeficientes reais x³-5x²+9x-a = 0:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 + i seja uma das raízes da referida equação.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação.
Solução:
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, a fim de que 2 + i seja raiz do polinômio, 2 – i, o conjugado do primeiro, também deverá sê-lo. Aplicando a primeira relação de Girardi para polinômios cúbicos, temos
\[x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{-5}{1}\Longrightarrow\]
\[x_{1}+2+i+2-i=5\Longrightarrow\]
\[x_{1}=5-4 = 1.\]
As três raízes são 1, 2+i e 2-i.
Aplicando-se a última relação de Girardi, teremos
\[1\cdot(2+i)\cdot(2-1)=-\frac{-a}{1}\Longrightarrow\]
\[4+1 = a \Longrightarrow a = 5.\]
Portanto, $$p(x) = x^{3}-5x^{2}+9x-5=0$$.
