a) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$18,00/kg ou para R$20,00/kg?

b) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.

c) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível?

Solução:

a) Se o preço do quilo for de R$ 18,00, o aumento monetário terá sido de R$ 3,00. Então, de acordo com os dados da pesquisa, houve uma redução de $$3\cdot 5 Kg = 15 Kg$$ de comida. Neste caso, o total vendido foi de $$100 – 15 = 85 Kg$$. Multiplicando esse valor pelo preço do quilo, temos $$85\cdot 18 =  R$ 1.530,00$$.

Se o preço do quilo for de R$ 20,00, o aumento em relação aos R$ 15,00 iniciais corresponde a R$ 5,00, o que provoca uma redução de $$5\cdot 5 = 25 Kg$$ de vendas, resultando em um total de $$100 – 25 = 75 Kg$$ vendidos diariamente. Multiplicando esse valor pelo preço do quilo, temos $$75\cdot 20 =  R$ 1.500,00$$.

Entre os preços apresentados, o restaurante tem um faturamento maior com os R$ 18,00 / quilo.

b) Com o preço a R$ 20,00/Kg, a quantidade vendida é de 75 Kg. A função será $$q(p) = ap + b$$, com os pares ordenados (15,100) e (20,75).

Montando um sistema de equações, teremos

$$100 = 15a + b$$ e $$75 = 20a + b$$.

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos: $$-25 = 5a$$, que resulta em $$a = -5$$. Substituindo tal valor na segunda equação, temos $$75 = -100 + b$$, logo $$b=175$$.

Assim, $$q(p) = -5p + 175$$.

Como a função da receita é $$r(p)=q(p)\cdot p$$, que é o resultado da multiplicação entre a quantidade vendida e o preço por quilo, temos

\[r(p) = (-5p+175)\cdot p = -5p^{2}+175p,\]

para $$p\geq 15$$.

c) Basta calcularmos o ponto de máximo da função do segundo grau obtida no item anterior, com a fórmula da coordenada $$x$$ do vértice da parábola. Os parâmetros da função do segundo grau são $$a=-5$$, $$b=175$$ e $$c=0$$. Com efeito,

\[p_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-175}{2\cdot (-5)}=R\$ 17,5/Kg.\]

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Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a um preço de R$ 0,20 por pãozinho de 50g. Atualmente, a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$ 4,50 por quilograma do produto.

a) Qual foi a variação percentual do preço do pãozinho provocada pela mudança de critério para o cálculo do preço?

b) Um consumidor comprou 14 pãezinhos de 50g, pagando por peso, ao preço atual. Sabendo que os pãezinhos realmente tinham o peso previsto, calcule quantos reais o cliente gastou nessa compra.

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Solução:

a) No início, o preço era de $$0,20/50g = 0,004 R\$/g$$. Agora, o valor passou a ser de $$4,50/1 Kg = 4,50/1000 g = 0,0045 R\$/g$$. Utilizando a fórmula do acréscimo percentual, temos

\[V_{f}=V_{0}(1+i),\]

em que $$V_{f}$$ é o valor após o reajuste, $$V_{0}$$ é o valor antes do reajuste e $$i$$ é a taxa percentual de aumento. Assim,

\[i = \frac{V_{f}}{V_{0}}-1=\frac{0,0045}{0,004}-1=\]

$$\frac{4,5}{4}-1=0,125=$$ 12,5%.

b) Os 14 pãezinhos de 50g cada resultam num total de $$14\cdot 50 = 700 g = 0,7 Kg$$. Então, utilizando uma proporção simples, temos:

1 Kg ————— R$ 4,5

0,7 Kg ————— $$x$$.

Daqui,

\[x = 0,7\cdot 4,5 = R\$ 3,15.\]

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