Demonstração

Como $$U$$ é um subespaço próprio de $$E$$, é fato que $$E-U\neq \{0_{E}\}$$. Seja $$x\notin U$$ tal que $$x\neq 0_{E}$$, então $$v-\alpha\cdot x$$ não pertence a $$U$$, sejam quais forem $$\alpha\neq 0$$ e $$v\in U$$.

Com efeito, se existissem $$\alpha_{0}$$ e $$v_{0}$$ tais que $$v_{0}-\alpha_{0}x\in U$$, teríamos $$x=(1/\alpha_{0})v_{0}-(1/\alpha_{0})(v_{0}-\alpha_{0}\cdot x)\in U$$, pelo critério do subespaço vetorial, algo que contraria a hipótese inicial.

Agora, dado qualquer $$\delta>0$$ e qualquer $$v\in U$$, podemos escolher $$y=\frac{\delta\cdot x}{2||x||}$$, com $$x\neq 0_{E}\notin U$$. O elemento $$v-y$$, que não pertence a $$U$$, sempre estará em $$B(v,\delta)$$.

De fato, $$||v-(v-y)|| = ||y|| = ||\delta \frac{x}{2||x||}||=\frac{\delta\cdot ||x||}{2||x||}=\frac{\delta}{2}<\delta$$.

Em particular, para as classes de equivalência de $$U$$, bastaria tomar $$a\notin U$$, de modo que $$||a+\frac{\delta\cdot v}{2||v||}-a||=\frac{\delta\cdot ||v||}{2||v||}<\delta$$. Daqui, conclui-se que sempre haverá elementos (neste caso, o elemento é $$\frac{\delta\cdot v}{2||v||}$$), que não pertencem à classe $$a+U$$, ainda que pertençam ao conjunto $$B(a+v,\delta)$$.

Referência:

Lima, Elon Lages – Espaços Métricos. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009

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Demonstração:

Demonstraremos que, dado um ε>0, existe $$v\in U$$ tal que $$||v||<\epsilon$$. De fato, suponha, por absurdo, que exista $$\epsilon_{0}>0$$ para o qual $$||v||\geq\epsilon_{0}$$, para qualquer $$v\in U$$. Então, fixado $$v\in U$$, existe $$l_{v}>0$$ tal que $$\epsilon_{0}+l_{v}=||v||$$.

Como $$U$$ é subespaço, $$u=\lambda v \in U$$, para qualquer λ no corpo. Em particular, para $$\lambda = \frac{\epsilon_{0}}{2(\epsilon_{0}+l_{v})}$$, temos $$||\lambda v||=|\lambda| ||v|| = \frac{\epsilon_{0}}{2(\epsilon_{0}+l_{v})}\cdot (\epsilon_{0}+l_{v})=\epsilon_{0}/2$$, de modo que $$||u||=||\lambda v|| = \epsilon_{0}/2 < \epsilon_{0}$$, contrariando a hipótese de que existe um limitante inferior maior do que zero para as normas vetoriais de $$U$$. Isso prova o enunciado.

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