Prove que, num espaço vetorial normado $$E$$, todo subespaço vetorial $$U$$ próprio tem interior vazio. Conclua que, para todo $$a\in E$$, a variedade afim $$a+U=\{a+v; v\in U\}$$ tem interior vazio.
Demonstração
Usaremos o lema que diz que, dado $$\epsilon>0$$, sempre haverá um vetor $$x\in E$$ tal que $$||x||<\epsilon$$. (veja o lema aqui).
Dado $$\epsilon>0$$, provaremos que $$B(v,\epsilon)$$ contém elementos que não pertencem a $$U$$. Com efeito, se tomarmos $$x\in U^{c}$$ tal que $$||x||<\epsilon$$, o elemento $$x+v$$ não pertence a $$U$$, uma vez que $$x$$ pertence ao subespaço vetorial complementar a $$U$$. De fato, se $$x+v\in U$$, então, como $$v\in U$$, teríamos $$x=(x+v)-v\in U$$, o que contraria a hipótese anterior de que $$x\in U^{c}$$.
Como $$||x|| = ||(x-v)-v|| <\epsilon$$, isso implica que $$(x-v)\in B(v,\epsilon)$$, o que prova que não existe $$\epsilon$$ para o qual $$B(v,\epsilon)\subset U$$. Em particular, para as classes de equivalência de $$U$$, bastaria tomar $$a\notin U$$, de modo que $$||a+v-a||=||v||$$. Daqui, conclui-se que sempre haverá elementos que não pertencem à classe $$a+U$$, mas que pertencem ao conjunto $$B(a+v,\epsilon)$$.
Referência:
Lima, Elon Lages – Espaços Métricos. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009
0 comentários