Seja $$E$$ um espaço vetorial normado, e seja $$U\subset E$$ um subespaço do primeiro. Prove que $$inf\{||v||, v\in U\}=0$$.
Demonstração:
Demonstraremos que, dado um ε>0, existe $$v\in U$$ tal que $$||v||<\epsilon$$. De fato, suponha, por absurdo, que exista $$\epsilon_{0}>0$$ para o qual $$||v||\geq\epsilon_{0}$$, para qualquer $$v\in U$$. Então, fixado $$v\in U$$, existe $$l_{v}>0$$ tal que $$\epsilon_{0}+l_{v}=||v||$$.
Como $$U$$ é subespaço, $$u=\lambda v \in U$$, para qualquer λ no corpo. Em particular, para $$\lambda = \frac{\epsilon_{0}}{2(\epsilon_{0}+l_{v})}$$, temos $$||\lambda v||=|\lambda| ||v|| = \frac{\epsilon_{0}}{2(\epsilon_{0}+l_{v})}\cdot (\epsilon_{0}+l_{v})=\epsilon_{0}/2$$, de modo que $$||u||=||\lambda v|| = \epsilon_{0}/2 < \epsilon_{0}$$, contrariando a hipótese de que existe um limitante inferior maior do que zero para as normas vetoriais de $$U$$. Isso prova o enunciado.
