a) Determine o custo de quando são produzidas 0, 5, 10, 15 e 20 unidades.
b) Esboce o gráfico da função.
c) Qual o significado do valor encontrado para C quando q = O?
d) A função é crescente ou decrescente? Justifique.
e) A função é limitada superiormente? Em caso afirmativo, qual seria o valor para o supremo? Justifique.

Solução:

a)

• $$C(0) = 3\cdot 0 + 60 = R\$ 60$$,
• $$C(5) = 3\cdot 5 + 60 = R\$ 75$$,
• $$C(10) = 3\cdot 10 + 60 = R\$ 90$$,
• $$C(15) = 3\cdot 15 + 60 = R\$ 105,00$$,
• $$C(20) = 3\cdot 20 + 60 = R\$ 120,00$$.

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b)

c) Ainda que não seja produzida qualquer unidade do produto, ocorre a incidência do custo fixo sobre todo o processo de produção. O custo fixo, neste caso, é de R$ 60,00.

d) A função é crescente, pois, se $$q_{1}<q_{2}$$, tem-se $$3q_{1} +60 < 3q_{2} + 60$$.

e) Não existe valor real $$c$$ para o qual $$|3q+60|<c$$, independentemente do valor de $$q$$. A função não é, portanto, limitada.

Referência
Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade – Murolo A.C e Boneto G.A.

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Os dois conceitos-chave primordiais aqui são o custo fixo e o custo variável.

O primeiro, o custo fixo, é o montante de todos os gastos gerados para produzir um determinado produto que não dependem da quantidade produzida. Se pensarmos, por exemplo, em uma pizzaria, o salário do pizzaiolo não varia conforme a quantidade de pizzas produzidas: se ele montar 10 ou 1000 pizzas em um mês, o salário é o mesmo!

Por outro lado, o custo variável é tudo o que depende da quantidade produzida. No caso da pizzaria, o quantidade de muçarela, e portanto o seu preço, varia em função do número de pizzas vendidas, correto?

Custo Total

Juntando as duas parcelas de custos, temos a função do Custo Total, que é a soma dos custos fixos e dos custos variáveis. Como já dissemos, a parte variável do custo dependerá da quantidade produzida, portanto a função do custo total dependerá dessa quantidade, a qual denotamos por $$x$$.

Se dissermos que $$C(x)$$ é o custo total, podemos escrever

\[C(x) = CF + p\cdot x,\]

em que $$CF$$ é o custo fixo e $$p$$ é o preço de venda do produto.

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Determine:
a) a função Custo Total;
b) a função Receita;
c) a função Lucro;
d) o ponto de nivelamento (ou ponto crítico);
e) Quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de $8.000,00?
f) Qual o custo médio para produzir a quantidade de livros obtida em e)?

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Solução:
a) O custo total, a função custo, é dado por $$C(x) = 10.000 + 40x$$, em que $$x$$ é o número de livros produzidos.

b) A receita é dada por $$R(x) = 60x$$.

c)  A função lucro é a diferença entre a receita e o custo: $$L(x) = R(x) – C(x) = 60x – 10.000 – 40x = 20x-10.000$$.

d) O ponto crítico é o $$x$$ que anula a função lucro. Isto é:

\[0=L(x) = 20x – 10.000 \Longrightarrow\]

\[10000 = 20x \Longrightarrow x = 50.\]

e) Basta fazermos $$L(x) = 8000$$. Daqui,

\[8000 = 20x – 10.000 \Longrightarrow 20x = 18.000 \Longrightarrow x = 900.\]

f) Basta dividirmos o lucro pela quantidade de peças, isto é:

\[C_{\text{médio}}=\frac{L(900)}{900}=\frac{8000}{900}\cong 8,88 R\$/\text{unidade}.\]

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a) Qual é a função custo (custo total)?
b) Qual é a função faturamento (receita)?
c) Qual é a função lucro?
d) Calcule os lucros, ou prejuízos, correspondentes aos níveis de produção de 12.000 e 20.000 unidades.

Solução:

a) Somando o custo fixo mensal e o custo de produção de cada peça, a função custo é $$C(x) = 100.000 + 14x$$, em que $$x$$ é o número de peças produzidas.

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b) A função receita vem da multiplicação entre o número de peças vendidas por seu preço, isto é: $$R(x) = 20x$$.

c) O lucro é a diferença entre a receita e o custo, portanto

$$L(x) = R(x) – C(x) = 20x -100000 – 14x = 6x-100.000$$.

d) Basta fazermos $$x=12.000$$. Desse modo, $$L(12.000) = 6\cdot 12000 – 100000 = R\$ -28.000$$. Houve prejuízo na venda de apenas 12.000 unidades.

Para $$x=20.000$$, temos $$L(20.000) = 6\cdot 20000 – 100000 = R\$ 20.000$$. Houve lucro na venda das 20.000 unidades.

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