Solução:

Das expressões, obtém-se

\[L(n)=5000n-2n^{2}-(n^{2}-1000n)=-3n^{2}+6000n\].

Recorde-se da fórmula do “xis do vértice de uma parábola”, $$x_{v}=\frac{-b}{2a}$$. Este é o valor de $$n$$ que faz com que a função $$L(n)$$ seja máxima.

\[x_{v}=-\frac{6000}{2\cdot (-3)}=1000\].

Resposta: c)

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(A) − x² + 18x − 32
(B) − x² − 18x + 40
(C) − x² − 22x + 32
(D) − x² + 22x − 40

Gabarito: d)
Solução (no vídeo abaixo):

O post UERJ – Em uma confeitaria recém-inaugurada, o preço de custo apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Obtenha o lucro para o preço variando de O a 10.
b) Esboce o gráfico.
c) A função é limitada superiormente? Em caso afirmativo, qual um possível valor para o supremo?

Solução:

a) Tomamos alguns pontos neste intervalo e calculamos os seus respectivos lucros:

• $$L(0) = -0^{2} + 10\cdot 0 – 21  = R\$ -21$$,
• $$L(3) = -3^{2} + 10\cdot 3 – 21  = R\$ 0 $$,
• $$L(5) = -5^{2} + 10\cdot 5 – 21  = R\$ 4 $$,
• $$L(10) = -10^{2} + 10\cdot 10 – 21  = R\$ -21 $$,

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b)

c) Por se tratar de uma função do segundo grau com coeficiente negativo em p², sabemos que a função tem ponto de máximo, cuja coordenada $$L(x_{\text{máx}})$$ é igual a

\[-\frac{\Delta}{4\cdot (-1)}=-\frac{100 – 4\cdot (-1)(-21)}{-4} =4. \]

Segue, dessa observação, que $$L(p)\leq 4$$, então a menor cota superior é 4, o supremo.

Referência
Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade – Murolo A.C e Boneto G.A.

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a) Qual é a função custo (custo total)?
b) Qual é a função faturamento (receita)?
c) Qual é a função lucro?
d) Calcule os lucros, ou prejuízos, correspondentes aos níveis de produção de 12.000 e 20.000 unidades.

Solução:

a) Somando o custo fixo mensal e o custo de produção de cada peça, a função custo é $$C(x) = 100.000 + 14x$$, em que $$x$$ é o número de peças produzidas.

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b) A função receita vem da multiplicação entre o número de peças vendidas por seu preço, isto é: $$R(x) = 20x$$.

c) O lucro é a diferença entre a receita e o custo, portanto

$$L(x) = R(x) – C(x) = 20x -100000 – 14x = 6x-100.000$$.

d) Basta fazermos $$x=12.000$$. Desse modo, $$L(12.000) = 6\cdot 12000 – 100000 = R\$ -28.000$$. Houve prejuízo na venda de apenas 12.000 unidades.

Para $$x=20.000$$, temos $$L(20.000) = 6\cdot 20000 – 100000 = R\$ 20.000$$. Houve lucro na venda das 20.000 unidades.

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